Ответ 21

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Теорема 1. Пусть функция имеет производную в данной точке . Тогда функция , где — постоянная, также имеет в этой точке производную, причем .

Теорема 2. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда сумма и разность этих функций также имеют в этой точке производные, причем

.

Теорема 3. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда произведение этих функций также имеет в этой точке производную, причем .

Теорема 4. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда частное этих функций при условии, что также имеет в этой точке производную, причем .

Ответ 22

Теорема о производной обратной функции

Теорема. Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и пусть в этой точке существует конечная производная . Тогда обратная функция имеет производную в точке , равную .

.

Ответ 23

Производная сложной функции

Теорема. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в точке . Тогда сложная функция дифференцируема в указанной точке и справедлива следующая формула

. (1)

Ответ 24

Логарифмическая производная. Эластичность функции.

Пусть функция положительна и дифференцируема в данной точке . Тогда в этой точке существует . Рассматривая как сложную функцию аргумента , можно вычислить производную этой функции, принимая за промежуточный аргумент. Получим

.

Эта производная называется логарифмической производной функции в данной точке .

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при . Из определения эластичности, обозначаемой следует, что

,

то есть эластичность равна произведению независимой переменной на логарифмическую производную функции .