Понятие непрерывности функции в точке. Непрерывность функции на множестве. Точки разрыва. Классификация точек разрыва

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению , то есть, если

. (1)

Определение. Функция называется непрерывной справа (слева) в точке , если правое (левое) предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению .

,

Определение. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

Классификация точек разрыва

Устранимый разрыв. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предельное значение функции в этой точке существует, но либо функция не определена в этой точке, либо ее предельное значение не равно частному значению .

Если функция имеет в точке разрыв такого рода, то его можно устранить, определив значение функции в точке равным ее предельному значению в этой точке.

Разрыв первого рода. Точка называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения:

.

Разрыв второго рода. Точка называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция не имеет хотя бы одного одностороннего предельного значения, или если, по крайней мере, одно из односторонних предельных значений бесконечно.

Определение. Функция называется кусочно непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, за исключением, может быть, конечного числа точек, в которых имеет разрыв первого рода, и, кроме того, имеет односторонние предельные значения в точках и .