Неравенство . Предельные значения тригонометрических функций

Докажем, что при справедливо неравенство

. (1)

Пусть . Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке (рис. 1). Пусть радиус образует угол с радиусом . Соединим точки и отрезком прямой и восстановим из точки перпендикуляр к радиусу до пересечения с продолжением . Точку пересечения обозначим . Тогда и . Найдем площади треугольника , сектора и треугольника :

, , .

Поскольку треугольник содержится в секторе , который в свою очередь содержится в треугольнике , то их площади связаны соотношением

.

Следовательно, , откуда

().

Если , то и будет выполняться неравенство . Отсюда, учитывая нечетность функций и , получим

()

Если , то . Итак, мы доказали, что для любого из интервала справедливо неравенство (1).

Предельные значения тригонометрических функций:

1.

2.

3. функции и не имеют предельного значения при .

4. , при ()

5. на интервале ,

6. на интервале .

7. , при ()