Ответ 7

Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение

Теорема. Пусть, заданные на одном и том же множестве функции и имеют в точке предельные значения и . Тогда функции , , и имеют в точке предельные значения (частное при условии, что ), равные соответственно , , и .

Ответ 8

Свойства функций, имеющих предельные значения, связанные с неравенствами

Теорема 1. Если функция имеет в точке предельное значение, равное , и в некоторой проколотой окрестности точки справедливо неравенство , то .

Теорема 2. Если функции и имеют в точке предельные значения, равные и , и в некоторой проколотой окрестности точки справедливо неравенство , то .

Теорема 3. Если функции и имеют в точке одинаковые предельные значения, равные , и в некоторой проколотой окрестности точки справедливо неравенство , то функция также имеет в точке предельное значение, равное .

Теоремы 1-3 справедливы и при , если указанные в их формулировках неравенства выполняются при условии , где — некоторое положительное число.