Ответ 5

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей

Определение. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа найдется номер , зависящий от , такой, что для всех номеров справедливо неравенство .

Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа Х найдется номер , зависящий от , такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .

Основные свойства бесконечно малых последовательностей

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 2. Разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Из теоремы 4 вытекает следующее следствие.

Следствие. Произведение двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Действительно, поскольку бесконечно малая последовательность ограничена, а по теореме 4 произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность, то данное следствие справедливо.

Теорема 5. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу , то .

Теорема 6. Если последовательность { } — бесконечно большая, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности не равны нулю, то последовательность — бесконечно большая.