Ограниченные и неограниченные множества

Определение. Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если найдется такое вещественное число , что для каждого элемента множества справедливо неравенство (). При этом число называют верхней гранью множества , а число — нижней гранью множества .

Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечное число верхних (нижних) граней. Действительно, если , то . Следовательно, также является верхней гранью.

Определение. Множество вещественных чисел называется неограниченным сверху (снизу), если для любого вещественного числа найдется элемент множества , удовлетворяющий неравенству ().

Определение. Число () называется максимальным (минимальным) элементом множества , если для всех элементов данного множества справедливо неравенство () и () принадлежит множеству .

Определение. Множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, то есть найдутся два вещественных числа и такие, что для любого элемента множества справедливо неравенство .

Определение. Множество называется неограниченным, если для любого положительного числа найдется элемент множества , удовлетворяющий неравенству .