Ответ 4

Последовательности. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей

Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то множество занумерованных чисел называют числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа называются элементами или членами последовательности. По своему определению последовательность содержит бесконечное множество элементов. Последовательность с элементами обозначают также { }.

Последовательность может быть задана с помощью формулы , которая называется формулой общего члена последовательности.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x_{n ,} у которых n>N, удовлетворяют неравенству

|x_n - a| < e. (6.1)

Записывают это следующим образом: или x_n→ a.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 3. Сумма сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей и .

Теорема 4. Разность сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей и .

Теорема 5. Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .

Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .