Действительные числа и их представление в виде бесконечных десятичных дробей. Числовые множества. Ограниченные и неограниченные множества

натуральный ряд чисел это Множество этих чисел называется множеством натуральных чисел и обозначается . В результате вычитания или деления не всегда получаются натуральные числа, и возникает необходимость расширить класс рассматриваемых чисел.

Вводятся число 0 и отрицательные числа –1, -2, …,- n, … Натуральные числа, число 0 и указанные отрицательные числа образуют множество целых чисел . Очевидно, что множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел, то есть .

При делении целых чисел появляются рациональные числа вида , где и — целые числа, причем . Множество рациональных чисел обозначают буквой . Его можно записать в виде . рациональное число — это несократимая обыкновенная дробь.

извлечение корня, вычисление логарифмов, значений тригонометрических функций и прочие операции привели к появлению иррациональных чисел. Все рациональные и иррациональные числа образуют множество вещественных (действительных) чисел. Множество вещественных чисел обозначают . Очевидно, справедливо соотношение .

Рассмотрим алгоритм измерения длины произвольного отрезка . Ради определенности предположим, что точка лежит по ту же сторону от точки , что и точка . Используем для измерения длины отрезка масштабный отрезок , считая его длину равной 1.

Рис. 4

Отрезок либо укладывается в отрезке раз с некоторым остатком , меньшим , либо отрезок уложится в отрезке ровно раз без остатка (рис. 4). Тогда целое число представляет собой приближенный результат измерения по недостатку с точностью до единицы: = Причем во втором случае остаток равен . Заметим также, что длину мы считаем равной единице.

Далее выясним сколько раз часть отрезка укладывается в остатке . Если часть отрезка укладывается в отрезке раз с остатком , не большим части отрезка , то — это длина отрезка , измеренного по недостатку с точностью до , а следовательно представляет результат измерения длины отрезка по недостатку с точностью до 0,1. Здесь — целое неотрицательное число. Заметим также, что поскольку длина отрезка не превышает единицы, то не может быть больше 9.

Если часть отрезка укладывается в отрезке раз () с остатком , не большим части отрезка , то число представляет результат измерения длины отрезка по недостатку с точностью до 0,01.

Продолжая неограниченно процесс измерения по указанному алгоритму, получим бесконечную десятичную дробь , которая задает длину отрезка и может быть поставлена в соответствие точке .

Указанные рассуждения можно применить и к точке, лежащей левее точки . Только в этом случае бесконечная десятичная дробь будет отрицательной.

Итак, мы установили, что любой точке числовой оси может быть поставлена в соответствие бесконечная десятичная дробь вида , где , , , . Дробь берут со знаком «плюс», если точка расположена правее начала отсчета и со знаком «минус» в противном случае.