Ознаки збіжності додатніх рядів

Ряд , де – називається додатнім. Додатній ряд завжди має суму; ця сума буде скінченною (і, відповідно, ряд – збіжним), якщо частинні суми ряду обмежені зверху, і нескінченною (а ряд – розбіжним) в протилежному випадку.

. I Якщо маємо (1) (2) і починаючи з деякого номера для всіх , і для всіх , то із збіжності ряду (2) слідує збіж. ряду (1), а із розбіж. (1) – розбіж. (2). II Якщо то 1) при із збіжності ряду (2) слідує збіж. (1); 2) при із розбіж. (1) слідує розбіж (2); 3)Якщо ряди одночасно збіжні або розбіжні.

Гранична озн. Раабе. Якщо то ряд (1) збіжний. Якщо то ряд (1) розбіжний.

Інтегральна ознака Маклорена. Якщо ряд (1) такий, що по можна знайти функцію таку, що , і спадна, тоді і ряд ) одночасно збіжні або розбіжні.

. 2. Нехай збіжний. Існує збіж. границя скінченна і ряд (1) збіжний. 3. Нехай (1) розбіжний. Це означає, що , тому , . Отже, ряд розбіжний.

Нехай розбіжний, то . За означенням, тому і ряд розбіжний. Ознака доведна.

III. Якщо починаючи з деякого номера для всіх номерів виконується нерівність , то із збіжності ряду (2) слідує збіж. (1), із розбіж. (1) – розбіж. (2).

Ознака Даламбера. Якщо починаючи з деякого номера для всіх номерів то ряд (1) збіжн. Якщо починаючи з деякого номера для всіх номерів то ряд розбіжний.

Озн. Коші. Розгул. варіанта Коші .Якщо, починаючи з деякого номера то ряд (1) збігається. Якщо, починаючи з деякого номера , то ряд (1) розбіжний.

Гранична ознака Коші. Якщо , то ряд (1) збігається. Якщо , то ряд (1) розбіжний. Якщо , то про збіжність чи розбіжність не можна судити за цією ознакою.

Ознака Раабе. Розгл. Варіанта Раабе . Якщо, починаючи з деякого номера , то ряд (1) збіжний. Якщо , то ряд розбіжний.