Частинні похідні, диференційованість функції багатьох змінних. Достатня умова диференційованості. Диференціал функції. Правила диференціювання

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо змінній х приросту , залишаючи змінну незмінною, так, щоб точка належала заданому околу. Величина називається частинним приростом функції по змінній х. Аналогічно вводиться частинний приріст функції по змінній : Якщо існує границя то вона називається частинною похідною функції в точці по змінній і позначається одним із таких символів: – частинні похідні по в точці .Аналогічно частинна похідна функції по визначається як границя і позначається одним із символів: Згідно з означенням, при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної , вважаючи змінну сталою, а при знаходженні похідної сталою вважається змінна . Тому частинні похідні знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функцій однієї змінної. Частинна похідна (або ) характеризує швидкість зміни функції в напрямі осі (або ). З'ясуємо геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних. Графіком функції є деяка поверхня. Графіком функції є лінія перетину цієї поверхні з площиною . Виходячи з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної, дістанемо, що , де – кут між віссю і дотичною, проведеною до кривої в точці . Аналогічно . Для функції змінних можна знайти частинних похідних:

де , .

Щоб знайти частинну похідну треба взяти звичайну похідну функції по змінній , вважаючи решту змінних сталими. Якщо функція задана в області і має частинні похідні в усіх точках , то ці похідні можна розглядати як нові функції, задані в області . Тому має сенс питання про існування частинних похідних від цих функцій по якій-небудь змінній в точці .Якщо існує частинна похідна по від функції , то її називають частинною похідною другого порядку від функції по змінній і позначають або . Таким чином, за означенням або Якщо існує частинна похідна по від функції , то її називають частинною похідною другого порядку від функції по змінній і позначають або . Отже, за означенням або

Для функції двох змінних можна розглядати чотири похідні другого порядку: . Якщо існують частинні похідні від частинних похідних другого порядку, то їх називають частинними похідними третього порядку функції , їх вісім: .