Основні застосування інтеграла Рімана (знаходження площ, об’ємів, довжин дуг; площ поверхонь обертання; фізичні застосування)

Теорема: Якщо функція f невід’ємна і неперервна на відрізку [ ], а

P={(): , }, (1) Тоді площа S множини P задається формулою (2) Нехай _k - розбиття відрізка [ ], =[ _{k-1, k}], _k= _k- _k-1,

= , = (3)

Позначимо відповідно через і замкнуті прямокутники,які складені зі всіх прямокутників вигляду (4)

(5)

. (6)

Із (3) що для будь-якого розбиття виконується включення з цього слідує що (7)

З (4) (5) що так як прямокутники і відповідно не мають спільних внутрішніх точок то в силу (6)

,

Інакше кажучи площі прямокутників дорівнюють відповідно нижній і верхній сумам Дарбу функції f.Тому з нерівності (7) випливає що , а так як то , Якщо функція f від’ємна і неперервна на відрізку[ ] і

то Дійсно, якщо а -множина, симетрична множині відносно вісі то за формулою (2) Оскільки площі симетричних множин рівні, тобто а