Числові ряди. Збіжні числові ряди. Необхідна умова збіжності. Необхідна і достатня умова збіжності. Ознаки збіжності додатних рядів

Нехай дано числову послідовність{u_n}. Вираз вигляду

а₁+а₂+…+а_n+… (1)

або, те саме, вигляду називається числовим рядом. Числа u₁,u₂,…,u_n,...називаються членами ряду. З кожним рядом вигляду (1) будемо ставити у відповідність суми

S₁=u_1,

S₂=u₁+u₂,

S₃=u₁+u₂+u₃ ,

………………. (2)

S_n =u₁+u₂+…+u_n,

………………

які називаються частинними або частковими сумами. Частинні суми ряду утв. деяку числову послідовність{Sn}. Ряд(1) наз. збіжним, якщо збігається послідовність його частинних сум{S_n}, тобто якщо існує скінчена границя . Число S- сума ряду. Якщо послід. немає границі або = ,то такий ряд наз. розбіжним(ряд не має суми). Кожній послід. Можна поставити у відповідність ряд сум S₁,...,S_п, S₁+(S₂ –S₁)+(S₃- S₂)+...+(S_п- S_п-1)+...

Теорема(необхідна умова збіжності ряду): Якщо ряд збігається, то його п- тий член прямує до нуля при :

Доведення. Нехай ,тоді (3). За умовою теореми, ряд збігається, а це означає, що існує скінчена границя . Звідси і з (3) випливає правильність рівності .

Теорема доведена.

Розгл. критерій Коші для послідовності для доведення не достатності умови теореми. Нехай дано 1) ; 2) ,тоді для >0 ,що при n>N,m>N

Щоб ряд 1) був збіжн. необх. і дост,щоб , р- довіл.

З цього випливає, що якщо ряд збіжний, то його n-тий член прямує до 0 при (це є необх умова збіжн.)

При р=1 . Це озн. не буде дост. для ряду. Необхідна і достатня ознака збіжності ряду.

Теорема: Дано ряд Щоб ряд був збіжний необх. і достат., щоб послідовність його частинних сум була обмежена, тобто

Довед. Необ х. Якщо ряд збіжний,то .Оск. послідовність має границю, то ця послід. обмежена.

Дост. Дано, що послідовність обмежена , причому . Оскільки послідовність монотонно зростає і є обмеженою, то вона має границю. Теорему доведено.