Інтеграл Рімана. Необхідна умова. Необхідна і достатня умова інтегрованості. Класи інтегрованих функцій. Теорема Ньютона-Лейбніца

Нехай f(x) задана на відрізку [a,b]. Поділимо відрізок [a,b] довільним способом на частини. На кожному з відрізків вибираємо довільно точку .

a x_k x_k+1 b

, .

Обчислюємо f() і складаємо суму: - інтегральна сума, де . Якщо існує границя цієї інтегральної суми, незалежно від поділу відрізка на частини і від вибору точок на кожному з них, то її називають визначеним інтегралом від функції f(x) на [a,b] при :

-інтеграл Рімана, де - найбільший з відрізків (), f(x) - підінтегральна функція.

Якщо границя не існує, або= , то ф-ція назв. Неінтегровною на [a,b]

Т(необхідна умова). Якщо функція інтегрована, то вона обмежена.

Д. Припустимо, що функція не обмежена зверху. Тобто вона не обмежена хоч на одному з тих відрізків. Тоді за рахунок вибору точки , можна зробити як завгодно великим. Тоді хоч один доданок в інтегральній сумі , тому границя не існуватиме і функція не інтегровна.

Т. про існування визначеного інтеграла (необхідна і достатня умова). Для існування визначеного інтеграла необхідно і достатньо, щоб вона була обмеженою і . (1)

На ”мові - ” умова (1) означає, що для , що як тільки (тобто проміжок розбитий на частини довжиною ), виконується нерівність S-s<

Д. a) Н-ть. Нехай існує .Тоді , щояк тільки , або , . Оскільки s і S точні грані для , тому , і , звідки при .

б) Д-ть. Нехай виконується (1)З , і якщо позначити їх спільне значення через I, то , .