Класи інтегровних функцій

Т1. Всяка неперервна функція на відрізку інтегрована.

Д. Функція неперервна на відрізку .Треба довести, що (1). На основі теореми Кантора для заданого завжди знайдеться таке ; що якщо відрізок розіб’ємо на частини, щоб коливання ф-ції на кожній з них було менше як , тоді сума . Границя цієї суми нуль; умова (1) виконується, звідси випливає існування інтеграла.

Т2. Якщо ф-ція обмежена на відрізку і має скінченне число точок розриву, то вона інтегрована на цьому відрізку.

Д. Проведемо доведення для випадку, коли одна точка розриву. Поділимо відрізок на частини так, щоб . Нехай на перед задане довільне . Відкладемо точки . Суму розділимо на дві: і . До суми належать відрізки, які поза околом (), а до суми належать всі решта точки. Згідно теореми Кантора .

Позначимо - коливальні ф-ції на всьому відрізку , ().

. Завжди можна вважати, що . Тоді . Границя такої суми буде дорівнювати 0.

Т3. Якщо ф-ція обмежена і монотонна на відрізку , то вона інтегровна на цьому відрізку.