Достатня умова випуклості графіка функції

Теорема. Нехай функція f(x) в інтервалі (a,b) має похідну другого порядку. Якщо для всіх , то крива в інтервалі (a,b) випукла.

Доведення. Нехай для всіх . Проведемо дотичну до кривої в довільній точці . Її р-ння має вигляд (1): (1). Якщо , то знайшовши з р-ння (1) і двічі застосувавши теорему Лагранжа(якщо ф-ія f(x) неперервна на відрізку і диференційована в інтервалі (a,b), то існує принаймні одна т. , така, що .дістанемо , де

Оскільки і, внаслідок умови теореми, то або тобто крива лежить нижче, ніж дотична в інтервалі Якщо ж то

Оскільки і, внаслідок умови теореми, то або тобто крива лежить вище, ніж дотична в інтервалі А це означає, що в інтервалі (a,b) крива обернена опуклістю вверх.Т-ма д-на.

Озн. Якщо в т. х₀ крива переходить від випуклості до вгнутості, то така точка наз. точкою перегину.

Точки перегину можливі в тих точках, де друга похідна = 0 або не існує.

Первісна функція (неозначений інтеграл). Таблиця основних інтегралів. Інтегрування підстановкою, частинами.

Визначення. Функція F(x) називається первісною функцією (або просто первісною) для функції f(x) на інтервалі (a,b), якщо в довільній точці x інтервалу (a,b) функція F(x) диференційована і має похідну F(x), що дорівнює f(x).

Т1: Якщо в деякому проміжку Х ф-я F(x) є первісною для функції f(x), то функція F(x) + C, де С – стала теж буде первісною для f(x) на проміжку Х.

Д: (F(x)+C)’=F’(x)+0=f(x) – за означ. первісної

Нехай Ф(х) теж деяка первісна для ф-ї f(x) на відрізку Х, тобто Ф’(x)=f(x). Ф(х)= F(x)+C – за умовою сталості ф-ї.

Отже, вираз F(x)+C являє собою заг. вигляд ф-ції, яка має похідну f(x. Цей вираз називається неозначеним інтегралом від ф-ції f(x) і позн.

Властивості:

Правила інтегрування: