![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нехай виконується означення 2, тобто для всякого існує таке
, що з нерівності
слідує нерівність
. Оберемо з області значень функції f(x) послідовність x1, x2,…,xn–>a. За означенням границі послідовності це означає, що для всякого δ>0 існує N(δ), що з того що n>N слідує
, а згідно нашого припущення, буде вірною і така нерівність
, а це й означає, що
Нехай виконується означення 1, тобто для всякої послідовності x1, x2,…,xn, що збігається до a, відповідна послідовність значень функції f(x1), f(x2),…, f(xn) збіжна до A. Припустимо, що означення 2 не виконується, тоді існує таке , що
. Виберемо такі δ1, δ2… що:
…………………………
Нехай , тоді
, а оскільки виконується означення 1, то це означає, що
, а це протирічить тому, що
. Отже, наше припущення невірне.
Число A називається границею функції f(x) в точці x=a зліва (лівосторонньою), якщо для всякого існує таке δ1, що з нерівності
слідує нерівність
.
Число A називається границею функції f(x) в точці x=a справа (правосторонньою), якщо для всякого існує таке δ2, що з нерівності
слідує нерівність
.
Теорема. Критерій Коші. Для того щоб функція f(x) мала скінчену границю в точці а необхідно і достатньо щоб:
Визначні границі: ;
.
1. Розглянемо послідовність
1…n, і покажемо,що вона строго зростає і обмежена зверху та має скінченну границю. Застосувавши формулу біному Ньютона,отримаємо
Із виразу,який знаходиться у правій частині рівності,видно,що при переході від n до n+1 число доданків у написаній сумі зростає на одиницю і кожен доданок,починаючи з третього,збільшується,так як стає більшим вираз, який стоїть в кожній круглій дужці,так як
Це означає строге зростання послідовності
Далі, оскільки
2. Доведемо,що Розглянемо в координатній площині коло радіуса R з центром в початку координат.Якщо OA=R,
AOB=x, 0<x<
\2,
,то площа
, тобто
звідси
, або
. В силу парності функцій
і
ця нерівність справедлива і для
. Переходячи в цій рівності до границі при
і маючи на увазі,що в силу неперервності функції cos x при x=0 має місце рівність
.Отримаємо,що
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 455 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!