Неперервність функції в точці. Різні означення. Одностороння неперервність і її зв’язок з неперервністю в точці

Означення 1. Функція називається неперервною в точці x₀, якщо вона в цій точці існує, існує границя функції в цій точці і має місце рівність

.

Функція f(x) називається неперервною в точці x=x₀, якщо для всякого існує таке , яке залежить від , що з нерівності слідує .

Щоб функція була неперервною в точці необхідно щоб вона мала границю в цій точці.

Означення. Функція f(x) в точці x₀ називається неперервною зліва (справа), якщо лівостороння (правостороння) границя дорівнює значенню функції в цій точці.

,

Якщо функція неперервна зліва і справа, то вона неперервна в цій точці.

Теорема 1. Якщо функції f(x) i g(x) визначені в одному і тому проміжку Х і неперервні в точці х₀, то в цій точці будуть неперервними і функції:

f(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x)/g(x) (g(x)≠0).

…………………………………………….

Теорема 2. Нехай функція φ(y) визначена на проміжку уєУ, а функція y=f(x) – хєХ. Причому коли хєХ то уєУ.

Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀, а функція φ(х) неперервна – у₀=f(x), то складна функція φ(f(x)) теж буде неперервною в точці х₀.

Що й буде свідчити про неперервність складної функції в точці х₀. ■

Якщо функція в точці x₀ не неперервна, то ця точка називається точкою розриву функції. Розриви функції поділяються на розриви першого і другого роду.

Якщо в точці x₀ існують границі зліва і справа, але не рівні, або навіть рівні, але не дорівнюють значенню функції в цій точці, то це розрив першого роду.

Якщо не існує хоч одна з односторонніх границь або рівні ∞, то це розрив другого роду.

Серед розривів першого роду виділяють усувний розрив – це розрив, коли обидві границі існують і рівні, але не рівні значення функції в цій точці (найчастіше тому, що вона в цій точці не існує). Щоб усунути розрив треба доозначити або переозначити значення функції в цій точці.

7. Властивості неперервної функції на сегменті. Теореми Больцано-Коші, Веєрштраса, Кантора.

Озн. Функція f(x) називається неперервною в т. х₀ якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст ф-ції.

Озн. Функція f(x) наз-ся неп-ою зліва, якщо і неп-ю з права, якщо

Якщо ф-ція неперервна в т. х₀, то вона неперервна в ній і справа, і зліва, і навпаки з неперервності ф-ції f(x) в т. х₀ справа і зліва випливає її неперервність у заданій точці.

Т.(І теорема Больцано-Коші) Якщо функція f(x) визначена і неперервна в замкненому проміжку ab і на кінцях цих проміжків приймає значення різних знаків, то між a і b знайдеться точка с в, якій f(x) перетв-ся в 0.

f(x), x є [а,b] ; f(c)=0, f(a)<0, f(b)>0

Д:. Припустимо, що f(a)<0, f(b)>0. Поділимо [а,b] пополам [а;(a+b)/2] [(a+b)/2;b] f((a+b)/2)=0. З двох отриманих відрізків принаймні на одному ф-ія на кінцях набуватиме різних значень. [а₁,b₁] – відрізок на якому функція на кінцях набуватиме різних значень. [а₁,b₁], f(a₁)<0, f(b₁)>0. Відрізок [а₁,b₁] ділимо пополам [а₁;(a₁+b₁)/2] [(a₁+b₁)/2;b₁]. Якщо (a₁+b₁)/2=0 теорема закінчена, якщо ні то той відрізок де на якому ф-ія на кінцях набуває різних знаків. [а,b], f(a_n)<0, f(b_n)>0; [а,b] [а₁,b₁] [а₂,b₂] … [а_n,b_n]; b_n-a_n=(b-a)/2ⁿ _n 0; b₁-a₁=(b-a)/2; b₂-a₂=(b₁-a₁)/2=(b-a)/2². За лемою про вкладені відрізки одрежуємо, що ; ; ; звідси випливає f(x)=0

Т.(ІІ теорема Больцано-Коші) Нехай функція f(x) визначена і неп-на в деякому проміжку Х. Якщо в деяких двох точках цього проміжку х=а, х=b (a<b) функція набуватиме не рівних значень f(a)=A, f(b)=B, то для будь-якого числа с яке міститься між а і b така, що f(c)=c.

Д: f(x), xєX; x=a, x=b; f(a)=A, f(b)=B; x=c, f(c)=C. Нехай А<B. Розглянемо допоміжну ф-ію φ(x)=f(x)-c, ф-ія φ(x) буде неперервною в проміжку Х, як різниця двох неперервних ф-ій. φ(a)=f(a)-c=A-c<0, φ(b)=f(b)-c=B-c<0. За І теорема Больцано-Коші існуватиме точка с між а і b така, що φ(с)=0 => f(c)-c=0 =>f(c)=c

Т.(І теорема Веэрштраса) Якщо функція f(x) визначена і неп-на в замкненому проміжку ab, то вона обмежена в цьому проміжку.

Д: Припустимо, що ф-ія f(x) необмежена в проміжку (a,b). . За лемою Больцано-Веєрштраса , x₀є[a,b]

f(x_nk)-> f(x₀), f(x_nk) . Суперечність, доводить, що ф-ція буде обмежена на [a,b].

Т:(ІІ теорема Веэрштраса) Якщо функція f(x) визначена і неперервна в замкненому проміжку ab, то вона досягає в цьому проміжку свого найбільшого і найменшого значення.

Т. Кантора. Якщо функція визначена і неперервна в замкнутому інтервалі , то вона на цьому інтервалі рівномірно неперервна.

Д. (Від супротивного). Нехай для будь-якого визначеного не існує , про яке йдеться в означенні рівномірної неперервності. В такому разі .

Візьмемо тепер послідовність додатніх чисел так, що . Тоді за вище сказаним отримаємо:

.

За лемою Больцана-Веєрштрасса із обмеженої послідовності можна виділити підпослідовність, яка буде збігатися до деякої точки . Щоб не ускладнювати позначення, вважатимемо, що сама послідовність збігається до .

Так як (бо , а ), то одночасно і послідовність збігається до . Тоді за неперервністю в функції в точці , має бути:

, так що ,а це протиріччя з тим, що для будь-якого виконується: . Теорема доведена.

Озн. Коливанням ф-ії f(x) на деякому проміжку Х наз-ся величиною ; ω=M-m; M=sup_xєX f(x); m=inf_xєX f(x)

Наслідок з теореми Кантора. Нехай функція визначена і неперервна в замкнутому інтервалі . Тоді , що якщо інтервал довільно розбити на проміжки, довжиною меншими за , то на кожному з них коливання функції буде меншим за .

Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної. Таблиця похідних. Геометричний та механічний зміст. Правила відшукання похідних. Похідна композиції функцій.

З1. Матеріальна точка рух-ся прямолінійно за зак S=S(t). Знайти шв-ть точки в момент часу t(миттєву шв-ть).

Надамо величині t деякого приросту ∆t.

t ∆t; t, t+∆t; ∆S=S(t+∆t)-S(t); V_сер=∆S/∆t; ; V_мит=S^I(t)

t ∆t; t, t+∆t; ∆S=S(t+∆t)-S(t); V_сер=∆S/∆t; ; V_мит=S^I(t)

З2. Зн. кутвий коефіцієнт дотичної до графіка ф-ії f(x) в точці M(x,y).

Розглянемо деяку криву (К).

Озн. Дотичною до кривої (К) в т. М наз-ся граничне положення МТ січної ММ₁, коли т. М₁ наближ. вздовж кривої (К) до т. М.

Розглянемо деяку функцію f(х), зобразимо її графік

; ;

Озн. Похідною функції називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля. .

Якщо функція в точці х має похідну, то вона називається диференційованою в цій точці. Якщо ми маємо дві функції U(x) і V(x) диференційовані в т. х, то буде диференційована їх сума, добуток і частка (V(x) 0)

Похідна оберненої функції. Нехай маємо функцію y=f(x). Нехай до неї існує обернена ф-ція

Т1. Якщо функція y=f(x) в т. х має похідну, не рівну нулю, то обернена ф-ція у відповідній точці- у також має похідну, яка записується: або

Д: 1) Надали приросту змінній у, 2) Тоді змінна х набирає приріст , 3) ,

4) Отже

Похідна складної функції. Нехай y=f(u), а , то ми маємо складну ф-цію: .

Т2. Якщо функція f(u) має похідну , а ф-ція має похідну у відповідній точці х, то складна ф-ція має похідну

Д. Оскільки існує , то існує границя при . Поділимо обидві частини на і перейдемо до границі:

Якщо , то Отже, тобто .

Похідна ф-ції, заданої параметрично.

Т3. Якщо ф-ції і мають похідні , причому , тоді існує похідна , рівна частці похідних. Доведення. Якщо у- ф-ція від х, то

Основна таблиця похідних: