Застосування похідної до дослідження функції на сталість, монотонність

Теорема. Нехай функція визначена на проміжку X і всередині цього проміжку має похідну , а на кінцях (якщо вони належать X) зберігає неперервність. Для того, щоб функція f(x) була тотожня константа в X необхідно і досить, щоб =0 в середині X.

Дов. Необхідність. Нехай тотожня константа, .То очевидно, що .Необхідність виконується.

Достатність. Дано, що похідна у кожній точці дорівнює нулю. Треба показати, що тотожня стала. Це означає, що які б ми дві точки з області X не взяли .

Застосуємо теорему Лагранжа. . = =const.

Теорему доведено.

Наслідок. Якщо і g(x) визначені напроміжкуX і всередині нього мають скінченні похідні і g (x), ці похідні рівні, то ці функції відрізняються на сталу