Необхідні і достатні умови монотонності функції у широкому розумінні

Теорема. Нехай визначена на проміжку X і всередині нього має скінченну похідну .Для того, щоб була монотонно зростаючою (спадною) у широкому розумінні необхідно і досить, щоб .

Дов. Необхідність. Нехай неспадна (не зростаюча) Застосуємо теорему Лагранжа: (1). Припустимо що Оскільки і , то з (1) . . Аналогічно для зростаючих.

Достатність. Нехай похідна для всіх x, що міститься всередині X , тоді з формули (1) видно, що .Тобто функція не спадна. Теорему доведено.