Необхідні і достатні умови монотонності функції у вузькому розумінні

Теорема. Нехай визначена на проміжку X і всередині нього має скінченну похідну . Для того, щоб була в X монотонно зростаючою (спадною) у вузькому розумінні необхідно і досить, щоб:

1) ; 2) не утворюють інтервал, який повністю міститься в X.

Дов.

Необхідність.

1)Нехай - строго монотонно зростаюча для . За попередньою теоремою . 2) Від супротивного. Нехай утворює інтервал ,який повністю міститься в X. Тоді візьмемо інтервал і застосуємо на цьому інтервалі теорему Лагранжа . Але всі . Тому . Звідси випливає, що функція немонотонна у вузькому розумінні. Наше припущення не вірне. Отже нулі похідної не заповнюють інтервал .

Достатність.

Нехай виконується 1) і 2). В силу 1) ми маємо - монотонна у широкому розумінні. І нехай вона немонотонна у вузькому розумінні, тобто , який міститься в X, що для всіх точок із функція . То тут її похідна . І ці x заповнюють цілий інтервал , який повністю міститься в X. Це суперечить 2). Тому функція монотонна у вузькому розумінні. Теорему доведено.

10. Локальний екстремум функції. Необхідна умова. Достатні умови. Знаходження найбільшого і найменшого значення функції на сегменті

Точка х₀ називається точкою макс.(мін) функції f(x), якщо існує окіл точки , в якому х з цього околу викон. нерів. () f(x₀) – макс.(мін) функ; х₀ – точка максимуму(мін). Якщо нер-ті є строгими, то макс-м(мінім) наз. власним (прот. – невласним)

Точки мах і мін називаються точками екстремумів

Необх. Умова екстремуму: якщо ф-я в точці х₀ має екстремум і в цій т. існує похідна, то ця похідна=0.

Дов-ня слідує з теореми Ферма.

Тим самим, точку екстремуму потрібно шукати серед точок, в яких похід.=0 або не існує, але в цій точці повинна існувати функція. Проте, ці умови не достатні.

Наприклад: y=x³, в точці х=0 –екстремуму немає

Достатні умови екстремуму:

Якщо функц. f(x) в т. х₀ неперервна, і має похідну в околі точки (всамій точці пох. може і не існує) і для х<х₀, , а для х> х₀ , то х₀ - точка максимуму. Якщо ж для х<х₀ , а для х>х₀ , то х₀- точка мінімуму. Якщо ж для х<х₀ , а для х>х₀ , або х<х₀ , х>х₀ , то точка х₀ не є ні точкою максимуму ні мінімуму.

Розглянемо відрізок [x, х₀]

Ф-я на цьому відрізку задов теор Лагранжа

для х<x₀ , тобто - зліва. x>x₀ -справа. -//- х<x₀ х>x₀ . Ця точка не є ні точкою максимуму ні мінімуму.

1ша до: Якщо похідна при переході через стац. точ. змінює свій знак з + на – (чи навпаки),то в т х0 ф-я матиме макс(мін).Якщо знак не зм-ся, то в т х0 екс. нема.

2га до: Якщо існує похідна 2-го порядку вт.х0 і вона додатна(від’ємна), то в т.х0 ф-я матиме мін(макс).

3тя до: Якщо перша із ненульових вт.х0 похідних ф-ій є непарного порядку, то ф-я в т.х0 екстремуму немає. Якщо такою похідною є похідна парного порядку, то в т.х0 буде мак, якщо ця пох. від’ємна;мін-м, якщо вона додатна.