![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема. Нехай визначена на проміжку X і всередині нього має скінченну похідну
. Для того, щоб
була в X монотонно зростаючою (спадною) у вузькому розумінні необхідно і досить, щоб:
1) ; 2)
не утворюють інтервал, який повністю міститься в X.
Дов.
Необхідність.
1)Нехай - строго монотонно зростаюча для
. За попередньою теоремою
. 2) Від супротивного. Нехай
утворює інтервал
,який повністю міститься в X. Тоді візьмемо інтервал
і застосуємо на цьому інтервалі
теорему Лагранжа
. Але всі
. Тому
. Звідси випливає, що функція
немонотонна у вузькому розумінні. Наше припущення не вірне. Отже нулі похідної не заповнюють інтервал
.
Достатність.
Нехай виконується 1) і 2). В силу 1) ми маємо - монотонна у широкому розумінні. І нехай вона немонотонна у вузькому розумінні, тобто
, який міститься в X, що для всіх точок із
функція
. То тут її похідна
. І ці x заповнюють цілий інтервал
, який повністю міститься в X. Це суперечить 2). Тому функція монотонна у вузькому розумінні. Теорему доведено.
10. Локальний екстремум функції. Необхідна умова. Достатні умови. Знаходження найбільшого і найменшого значення функції на сегменті
Точка х0 називається точкою макс.(мін) функції f(x), якщо існує окіл точки , в якому
х з цього околу викон. нерів.
(
) f(x0) – макс.(мін) функ; х0 – точка максимуму(мін). Якщо нер-ті є строгими, то макс-м(мінім) наз. власним (прот. – невласним)
Точки мах і мін називаються точками екстремумів
Необх. Умова екстремуму: якщо ф-я в точці х0 має екстремум і в цій т. існує похідна, то ця похідна=0.
Дов-ня слідує з теореми Ферма.
Тим самим, точку екстремуму потрібно шукати серед точок, в яких похід.=0 або не існує, але в цій точці повинна існувати функція. Проте, ці умови не достатні.
Наприклад: y=x3, в точці х=0 –екстремуму немає
Достатні умови екстремуму:
Якщо функц. f(x) в т. х0 неперервна, і має похідну в околі точки (всамій точці пох. може і не існує) і для х<х0, , а для х> х0
, то х0 - точка максимуму. Якщо ж для х<х0
, а для х>х0
, то х0- точка мінімуму. Якщо ж для х<х0
, а для х>х0
, або х<х0
, х>х0
, то точка х0 не є ні точкою максимуму ні мінімуму.
Розглянемо відрізок [x, х0]
Ф-я на цьому відрізку задов теор Лагранжа
для х<x0
, тобто
- зліва. x>x0
-справа. -//- х<x0
х>x0
. Ця точка не є ні точкою максимуму ні мінімуму.
1ша до: Якщо похідна при переході через стац. точ. змінює свій знак з + на – (чи навпаки),то в т х0 ф-я матиме макс(мін).Якщо знак не зм-ся, то в т х0 екс. нема.
2га до: Якщо існує похідна 2-го порядку вт.х0 і вона додатна(від’ємна), то в т.х0 ф-я матиме мін(макс).
3тя до: Якщо перша із ненульових вт.х0 похідних ф-ій є непарного порядку, то ф-я в т.х0 екстремуму немає. Якщо такою похідною є похідна парного порядку, то в т.х0 буде мак, якщо ця пох. від’ємна;мін-м, якщо вона додатна.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 644 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!