Числова послідовність. Види числових послідовностей. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей

Послідовністю називається ф-я натурального аргумента, тобто коли кожному натуральному числу n ставиться у відповідність дійсне число.

Види: обмежені(знизу,зверху);монотонні(зрост.,спадні)

Послідовність називається зростаючою (спадною), коли при збільшенні(зменшенні) n члени послідовності зростають (зменшуються), тобто якщо при n₁<n₂ ( ).

Послідовність називається обмеженою з верху, якщо: Існує МєR: ¥ nєN n_n≤M

Число називається границею послідовності якшо для довільного існує таке натуральне число , яке залежить від , що для всіх виконується нерівність .

Якщо послідовність має границею число а, то кажуть, що вона збігається до ч.а і її називають збіжною ( в прот. випадку- розбіжною).

Теорема1. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

Доведення.

Припустимо супротивне. Нехай послідовність має дві границі . Виберемо a<b. Візьмемо довільне , таке, щоб . Знайдемо числа і , при яких , а для . Якщо вибрати N більшим з чисел N₁ N₂, то і , що неможливо, тому що .

Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Доведення.

Нехай . Тоді в будь-який окіл точки потрапляють всі за винятком хіба лише скінченного числа точок. Нехай, починаючи з , всі потрапили до околу . Виберемо з чисел найбільше за модулем М. Тоді для . Виберемо . Тоді для , тобто послідовність -- обмежена.

Теорема 3. Якщо для послідовностей і , що мають скінченні (не обов'язково) границі і , і починаючи з деякого номера для всіх наступних членів виконуються нерівності або , то .

Теорема4. Якщо з трьох послідовностей , , дві мають одну й ту саму границю , і при всіх , починаючи з деякого номера, справджуються нерівності , то .

Дійсно, нехай дано . Оскільки , то існує таке , що , Оскільки , то існує таке , що . Нарешті, нехай нерівності справджуються при всіх . Виберемо тепер . Тоді всі нерівності справджуватимуться одночасно: , , , звідси , або . Це означає, що .

Лема. Якщо послідовність {y_n}, y_n≠0 має границю, відмінну від нуля, то послідовність обмежена.

Д-ня: Нехай . Тоді для будь-якого δ>0 існує таке N(δ), що виконується нерівність . Якщо b>0, то вибираємо δ таким чином, щоб виконувалася нерівність b–δ>0. Тоді .Вибравши –> . Взявши з чисел , ,…, , M’ і позначивши його через M, отримаємо, що , це означає, що посл-ть обмежена.■