Множина дійсних чисел. Упорядкованість, щільність, повнота множини дійсних чисел

Множина дійсних чисел складається із множини раціональних та ірраціональних чисел. Раціональним називається число, яке можна подати у вигляді звичайного дробу , де p, q − цілі числа, причому . Ірраціональним називається дробове число, що не може бути виражене відношенням цілих чисел.

Для будь-яких дійсних чисел a, b має місце одне із співвідношень: Відношення "=" має властивість: якщо і , то . Для будь-яких дійсних чисел a, b, c виконуються наступні аксіоми:

· Якщо і , то .

· Якщо , то .

· Якщо і , то .

Існує єдине число 0, таке, що для будь-якого числа .

Для будь-якого числа існує таке число , що (число називається протилежним числу ).

Існує єдине число 1, таке, що для будь-якого числа .

Для будь-якого числа існує таке число , що ; число позначається також символом і називається оберненим до .

Нехай і - дві множини, які складаються із дійсних чисел. Тоді, якщо , виконується нерівність , то існує принаймні одне дійсне число , для якого виконується нерівність .

Теорема (Дедекінда). Для будь-якого перерізу у множині дійсних чисел існує число , яке здійснює цей переріз. Це число буде або найбільшим в нижньому класі А. або найменшим у верхньому класі