Геометрический смысл дифференцируемости функции многих переменных

Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных u=f(x,y)

Определение 1. Касательной плоскостью к графику функции u=f(x,y) в точке (х₀, y₀, f(x₀,y₀)) называется такая плоскость, что разность ее апликаты и значения функции f(x,y) является величиной, бесконечно малой по сравнению с при 0, где

Пусть u₀ = f(x₀,y₀), u = f(x,y), тогда условие дифференцируемости в т. (x₀,y₀) этой функции записывается в виде

u - u₀ = A(x-x₀)+B(y-y₀)+0(),

или

u = u₀ + A(x-x₀)+B(y-y₀)+0().

Рассмотрим следующую плоскость

U-u₀ = A(x-x₀) + B(y-y₀)

(U - откладывается на той же оси Оz, что и u), тогда ее апликата U определяется равенством

U = u₀ + A(x-x₀) + B(y-y₀),

и разность

U-u = u₀ + A(x-x₀) + B(y-y₀) - (u₀+A(x-x₀) + B(y-y₀) + 0()) = 0().

Таким образом, если функция u=f(x,y) дифференцируема в т. (x₀,y₀), то график этой функции в соответствующей точке (x₀,y₀, f(x₀,y₀)) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением

z - f(x₀,y₀) =

Из аналитической геометрии известно, что нормальный вектор к этой касательной плоскости имеет координаты

.

Уравнения нормали к касательной плоскости в т. (x₀,y₀, f(x₀,y₀)) имеют вид:

Замечание. Касательная плоскость может быть определена также следующим эквивалентным образом.

Определение 2. Плоскость П, проходящая через точку N₀ поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку N₀ и любую точку N₁ поверхности, стремится к нулю, когда точка N₁ стремится к N₀.