Повторный предел

- предел функции нескольких переменных, при к-ром предельный переход совершают последовательно по различным переменным. Пусть, напр., функция f двух переменных х и уопределена на множестве вида , и пусть х ₀, y₀ - предельные точки соответственно множеств Xи Y или символы оо (в случае, когда m=1 или n=1, х ₀ и соответственно y₀ могут быть бесконечностями со знаком: ). Если при любом фиксированном существует предел

(1) и у функции j(у).существует предел

то этот предел наз. повторным пределом

(2)

функции f(x, у).в точке (х ₀, у ₀). Аналогично определяется П. п.

(3)

Если существует (конечный или бесконечный) двойной предел

(4)

и при любом фиксированном существует конечный предел (1), то существует и П. п. (2) и он равен двойному пределу (4).

Если при каждом существует предел (1), а при каждом существует предел

и если при функция f(x, у).стремится на Y к предельной функции j(у).равномерно относительно у, то оба П. п. (2) и (3) существуют и равны друг другу. Если множества Xи Yявляются множествами натуральных чисел, то функция f наз. в этом случае двойной последовательностью и значения аргументов пишут в виде индексов:

а П. п.

наз. повторным и пределами двойной последовательности. Понятие П. п. обобщается на случай, когда X, Y и множество значений функции f являются подмножествами нек-рых топологич. пространств. Л. Д. Кудрявцев.