Теорема Коши о промежуточном значении непрерывной функции

Теорема (о промежуточном значении). Пусть функция непрерывна на отрезке и .

Тогда каждое число , принадлежащее интервалу с концами в точках и является значением функции хотя бы в одной точке , то есть .

Доказательство. ►Рассмотрим функцию . Очевидно, что и непрерывна на . Тогда по предыдущей теореме существует точка , откуда получаем .◄

Замечание. Требование непрерывности функции в последних теоремах существенно.

Примером, иллюстрирующим этот факт, может служить функция , определенная на отрезке и не принимающая значения .