![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 2. Функция u=f(x1,..., xm) называется дифференцируемой в точке M(x1,..., xm), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
f(x1+ x1,..., xm+
xm) - f(x1,..., xm)
u = A1
x1 + A2
x2 +... + Am
xm +
1
x1 +... +
m
xm,
где А1, А2,..., Аm - некоторое, не зависящие от x1,...,
xm, числа,
а 1,
2,...,
m - бесконечно малые при
x1
0,...,
xm
0 функции, равные 0 при
x1 =
x2 =...=
xm=0.
Если положить , то условие дифференцируемости может быть записано в виде:
u = A1
x1 + A2
x2 +... + Am
xm + 0(
) (1)
Оба представления эквивалентны и означают, что приращение функции представимо в виде линейной части (по x1,...,
xm) и членов более высокого порядка (по
x1,...,
xm или
).
Теорема 1. Если функция u=f(x1,..., xm) дифференцируема в точке
M(x1,..., xm), то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем , где Аi определяются из условия дифференцируемости.
Доказательство: Положим в условии дифференцируемости все приращения, кроме xk, равными нулю, тогда для частного приращения справедливо представление
xku = Ak
xk +
k .
xk
Отсюда
и т.к.
k
0 при
xk
0, то
.
Следствие. Условие дифференцируемости функции в данной точке можно записать в виде:
Замечание 1. Существование частных производных в точке не достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 262 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!