Дифференцируемость функции многих переменных

Определение 2. Функция u=f(x₁,..., x_m) называется дифференцируемой в точке M(x₁,..., x_m), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

f(x₁+ x₁,..., x_m+ x_m) - f(x₁,..., x_m)

u = A₁ x₁ + A₂ x₂ +... + A_m x_m + ₁ x₁ +... + _m x_m,

где А₁, А₂,..., А_m - некоторое, не зависящие от x₁,..., x_m, числа,

а ₁, ₂,..., _m - бесконечно малые при x₁ 0,..., x_m 0 функции, равные 0 при x₁ = x₂ =...= x_m=0.

Если положить , то условие дифференцируемости может быть записано в виде:

u = A₁ x₁ + A₂ x₂ +... + A_m x_m + 0() (1)

Оба представления эквивалентны и означают, что приращение функции представимо в виде линейной части (по x₁,..., x_m) и членов более высокого порядка (по x₁,..., x_m или ).

Теорема 1. Если функция u=f(x₁,..., x_m) дифференцируема в точке

M(x₁,..., x_m), то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем , где А_i определяются из условия дифференцируемости.

Доказательство: Положим в условии дифференцируемости все приращения, кроме x_k, равными нулю, тогда для частного приращения справедливо представление

x_ku = A_k x_k + _k ^. x_k

Отсюда

и т.к. _k 0 при x_k 0, то
.

Следствие. Условие дифференцируемости функции в данной точке можно записать в виде:

Замечание 1. Существование частных производных в точке не достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.