Первая и вторая теоремы Вейерштрасса

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на отрезке , ограничена на этом отрезке.

Замечание. Отрезок в условии этой теоремы нельзя заменить интервалом. Так функция непрерывна на интервале , но не ограничена на нем.

(без доказательства)

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на отрезке , достигает на нем нижней и верхней грани своих значений, а именно, существуют точки такие, что

(без доказательства)

Замечание. В этой теореме также нельзя заменить отрезок интервалом. Например, функция непрерывна на интервале , но не достигает на нем нижней и верхней границ своих значений.