Дифференцируемость сложной функции многих переменных

Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных. Первый дифференциал и инвариантность его формы.

Теорема. Пусть функции ,…, дифференцируемы в точке =(,…, ) , =(,…, ) и функция f(y)=f(,…, ) дифференцируема в точке .

Тогда сложная функция Ф (х)=f (,…, ) дифференцируема в точке , причем при х

Ф(х)-Ф()= ( - )+о(), = , i = .

Док-во: Так как функция f(y) дифференцируема в точке , то найдутся функции , , непрерывные в точке =(,…, ) и такие, что f (y) -f ()= , = . Пользуемся, что дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке, а также теоремой о непрерывности сложной функции, получаем: = , непрерывны в точке , причем = = = . Подставляя в полученное ,…, и используя вышеполученные соотношения, получаем:

Ф(х)-Ф()= ( - ). Но функции , , дифференцируемы в точке , поэтому найдутся такие непрерывные в точке функции , что:

- = ( - ), = , i = , .

Подставляя в предыдущее соотношение, получаем:

Ф(х)-Ф()= ( - ), = .

Так как функции и непрерывны в точке , то и функции непрерывны в точке . Значит, сложная функция Ф(х) дифференцируема в точке , ч.т.д.

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке . Тогда при ее можно записать в виде: f (x) =f ()+ ()( - )+о(). Положим по определению = - . Если функция f(x) дифференцируема в точке , то линейную форму относительно приращений независимых переменных = назовем первым дифференциалом функции f(x) в точке . Иначе можно записать как:

f(x)=f ()+ df ()+о().

Ищем дифференциал сложной функции. Пусть функции ,…, дифференцируемы в точке , а функция f (,…, ) дифференцируема в точке =(,…, ). Тогда функция Ф(х)= f (,…, ) дифференцируема в точке , получаем: d Ф()= df (,…, )= = = = , = . Итак, df (,…, )= . (*)

Если бы ,…, были независимыми переменными, то отличился бы от дифференциала сложной функции (*) только тем, что в выражении - дифференциалы функции , а в = , - дифференциалы независимых переменных. Форма первого дифференциала инварианта относительно замены переменных. Инвариантность помогает не задумываться о независимости переменных в варианте записи через .

Пусть функция f(x) дифференцируема во всех точках некоторого открытого множества G . Тогда в каждой точке можно вычислить дифференциал = . Он будет функцией 2n переменных.