Функции нескольких переменных

Функция переменных является дифференцируемой в точке своей области определения , если для любой точки существуют такие константы , что

где .

В этой записи функция

является дифференциалом функции в точке , а числа являются частными производными функции в точке , то есть

где — вектор, все компоненты которого, кроме -ой, равны нулю, а -ая компонента равна 1.

Каждая дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке все частные производные, но не каждая функция, имеющая все частные производные, является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. В качестве такого примера можно рассмотреть функцию двух переменных , равную при и при . В начале координат обе частные производные существуют (равны нулю), но функция не является непрерывной.

Это обстоятельство могло бы стать серьезной помехой всему дифференциальному исчислению функций многих переменных, если бы не выяснилось, что непрерывности частных производных в точке достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.^[1]