Приведите классификацию дифференциальных уравнений

Основные виды дифф-х ур-ий: допускающие разделение переменных, с разделяющимися переменными, однородные, линейные первого порядка, Бернулли, в полных дифференциалах.

С разделенными переменными:

1.простейшие ДУ I порядка y’=f(x)

=>dy=f(x)dx=> => , y₀=y(x₀)(можно найти частное решение.)

2.. Дифференциальное уравнение вида f(x)dx+φ(y)dy=0, где f(x), φ(y)-непрерывные функции то уравнение называется, уравнение с разделенными переменными

Уравнение с разделяющимися переменными:

ДУ вида M₁(x)*M₁(y)dx+ M₂(x)*M₂(y)dy=0, где М₁(х), М₁(у), М₂(х), М₂(у) – непрерывные функции это уравнение называется разделяющимися переменными (зависят отдельно только от х или у).

Однородное уравнение:

Однородное уравнение первого порядка, где f(x, y)-однородная функция степени 0(ноль).

Опр-е: ДУ первого порядка Р(х, у)dx+Q(x, y)dy=0(1) или уравнение если оно разрешается относительно называется однородным.

Линейные:

Опр-е: Линейным ДУ 1-го порядка называется уравнение линейное относительно неиз-ой функции и ее производной.

В общем случае оно может быть записано в виде:

где Р(х), f(x)-заданные непрерывные функции.

Уравнение Бернулли:

y'+P(x)y=f(x)yⁿ, n≠0.1 (3)

t(x)=y^1-n (сводит к линейному уравнению)

t'=(1-n)y^-n y' преобразуем уравнение (3)

ДУ в полных дифференциалах:

ДУ вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(4) называется уравнением полных дифференциалов.

5.11 В чем разница между аналитическим и численным решением дифференциального уравнения?

Аналитическое решение - основано на интегрировании дифф-го ур-я => интегрируемая прямая есть сама ф-я. Однако этим способом можно решить очень ограниченный круг задач.

При численном решении интегрируемую кривую y(x) находим лишь в отд. значениях в узловых точках аргумента x.