Вычисление определителей методом Гаусса

Пусть дана исходная матрица

. (1)

Необходимо вычислить D = det A.

Вспомним свойства определителей:

· для того чтобы умножить (разделить) определитель на какое либо число, достаточно умножить (разделить) на это число строку или столбец:

; (2)

· значение определителя не изменится, если его строку заменить суммой этой строки и другой, умноженной на произвольное число.

Учитывая это свойство, умножая первую строку последовательно на a₂₁, a₃₁,..., a_n1 и вычитая из второй, третьей и т.д., получим

; (3)

· величина определителя равна сумме произведений элементов строки (столбца) на (-1)^i+j | A |_{i j}, где | A |_{i j} – соответствующие миноры.

Используя это свойство, представим определитель как сумму произведений элементов первого столбца на соответствующие миноры. При этом учтем, что за исключением первого элемента значения остальных элементов столбца равны нулю.

Таким образом, мы понизили порядок определителя на 1. Применим к полученному определителю порядка n - 1 такие же преобразования. Выполняя n шагов, найдем определитель D как произведение ведущих элементов: (4)

4.27	Как организовать контроль прямого хода метода Гаусса

Для избежания ошибок метод Гаусса позволяет проверять контрольные суммы, т.е. столбец С, с каждым

а) проводится те же преобразования, что и со столбцом b

б) С=Σ элементов в каждой строке преобразования Гаусса включая столбец b

а)

б)

На обратном ходе так же можно осуществлять проверки вычисления корней получив корни _i, если вместо свободных членов b использовать столбец С

_i=x_i+1

4.28	Как организовать контроль обратного хода метода Гаусса

Для избежания ошибок метод Гаусса позволяет проверять контрольные суммы, т.е. столбец С, с каждым

а) проводится те же преобразования, что и со столбцом b

б) С=Σ элементов в каждой строке преобразования Гаусса включая столбец b

а)

б)

На обратном ходе так же можно осуществлять проверки вычисления корней получив корни _i, если вместо свободных членов b использовать столбец С

_i=x_i+1

5.1	Обыкновенное дифференциальное уравнение и уравнение в частных производных 227
5.2	Задача Коши и краевая задача
5.3	Методы Рунге- Кутта
5.4	Формулы Рунге- Кутта 1,2 и 4-го порядка
5.5	Погрешность задачи Коши
5.6	Решение дифференциальных уравнений высокого порядка
5.7	Решение систем дифференциальных уравнений
5.8	Дайте определение задачи Коши
5.9	Дайте определение краевой задачи
5.10	Приведите классификацию дифференциальных уравнений.
5.11	В чем разница между аналитическим и численным решением дифференциального уравнения.
5.12	Сформулируйте постановку задачи Коши.
5.13	В чем состоит основная идея методов Рунге- Кутта.
5.14	Определите локальную и глобальную погрешность задачи Коши.
5.15	Запишите формулы Рунге- Кутта 1 и 2-го порядков
5.16	Запишите формулы Рунге- Кутта 1 и 4-го порядков
5.17	В чем состоит идея метода Рунге- Кутта с адаптивным шагом.
5.18	В чем состоит идея решения дифференциального уравнения высокого порядка.
5.19	Какие известны процедуры решения задачи Коши в ППП MathCad.
5.20	Методы Рунге для решении задачи Коши (идея и особенности)
5.21	Метод Эйлера для решения задачи Коши
5.22	Принцип Рунге для оценки шага при решении задачи Коши
5.23	Источники погрешности методов Рунге - Кутта