Обыкновенное дифференциальное уравнение и уравнение в частных производных

Обыкновенное дифф-е. ур-е – это ур-е, содержащее одну неизвестную переменную и производную по ней. Дифференциальные ур-я в частных производных: обыкновенные дифф-е ур-я имеют множ-во решений, чтобы найти единственное, необходимы дополнительные усл-я. Если доп. усл-е задано в одной т-ке, то оно наз-ся Задачей Коши. Если нач. усл-ий неск-ко, то усл-я наз-ся граничными, а задача - краевой.

Задача Коши и краевая задача

Пусть задано обыкн. ур-е 1-го порядка, т.е. , , .

Эта задача может быть решена двумя способами: 1) аналитически; 2) численно(приближенно).

Аналитическое решение - основано на интегрировании дифф-го ур-я => интегрируемая прямая есть сама ф-я. Однако этим способом можно решить очень ограниченный круг задач.

При численном решении интегрируемую кривую y(x) находим лишь в отд. значениях в узловых точках аргумента x.

, k=1,2,…n

На практике найти общее либо частное решение задачи Коши удается крайне редко, поэтому приходится решать эту задачу приближенно. Отрезок [ a_, b ] накрывается сеткой (разбивается на интервалы) чаще всего с постоянным шагом h (h = x_n+1 - x_n),и по какому-то решающему правилу находится значение y_n+1 = y (x_n+1). Таким образом, в качестве решения задачи Коши численными методами мы получаем таблицу, состоящую из двух векторов:
x = (x₀ , x_{1, …}x_n) – вектора аргументов и соответствующего ему вектора функции y = (y_0, y₁ ,_…,y_n).

ПРИМЕР: