Формулы Рунге- Кутта 1,2 и 4-го порядка

Для получения формулы Рунге- Кутта проинтегрируем дифференциальное уравнение в интервале [x_k, x _k+1]. Получим:

или - эта формула носит название формулы Рунге- Кутта. Для практического применения слагаемое Dy_k+1 заменяют полиномом определенной степени. В зависимости от степени полинома различают методы Рунге-Кутта 1, 2, 4 порядка.

I порядок (метод Эйлера):

- формула Эйлера позволяет, начиная с начальных условий {x₀, y₀} получить последовательность приближений к решению дифференциального уравнения { y₁, y₂, …,y _n}.

II порядок:

Возможны 2 варианта формул Рунге- Кутта II порядка:

а) б)

Вариант а(метод Эйлера-Коши) формулы является аналогом формулы трапеции (численное интегрирование), вариант б(модифицированный метод Эйлера) – средних прямоугольников.

IV порядок:

Аналог – формулы Симпсона.