Метод Зейделя

Этот метод представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k +1)-го приближения неизвестной x _i учитываются уже вычисленные ранее (k +1)-е приближения (x₁ x₂,..., x_i-1).

Пусть дана приведенная линейная система:

(i = 1, 2, … n). (1)

Выберем произвольно начальные приближения корней , стараясь, конечно, чтобы они в какой-то мере соответствовали неизвестным x₁, x₂, x₃,..., x_n.

Предположим, что k -е приближение корней известно, тогда в соответствии с идеей метода будем строить (k +1) – е приближение по следующим формулам:

(2)

(k = 0, 1, 2,...).

Обычно процесс Зейделя сходится быстрее, чем метод Якоби. Бывает, что процесс Зейделя сходится, когда простая итерация расходится и, т.п. Правда, бывает и наоборот. Во всяком случае, достаточные условия сходимости для метода Якоби достаточны и для сходимости метода Зейделя. Если выполняется достаточное условие сходимости для системы (1) – по строкам, то в методе Зейделя выгодно расположить уравнения (2) так, чтобы первое уравнение системы имело наименьшую сумму модулей коэффициентов:

. (3)

1. На каждом шаге преобразования выбирается максимальный по модулю элемент а_pq, р-ая строка главная а_pq-главный

2. для всех строк, кроме главной находится сомножитель

3. Каждой неглавной строке добавляем главную умножающую на сомножитель m_i, в результате q-ый столб нулевой, вычеркиваем p-ую строку и q-ый столбец