Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Пусть дана неособенная матрица

A = [ a_ij ] (i,j = 1,2,..., n).

Необходимо найти её обратную матрицу

A^-1 = [ x_ij ] (i,j = 1,2,..., n).

Вспомним основное соотношение линейной алгебры:

A·A^-1 = E,

где Е – единичная матрица.

Перемножая матрицы A и A^-1, получаем n² уравнений относительно n² неизвестных x_{i j} :

(i,j = 1, 2,..., n),

где

Таким образом, получим n систем линейных уравнений для j = 1, 2,..., n, имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.

4.25	Основные классы методов решения СЛАУ

Методы решения СЛАУ

Разделяют на две группы:

1) прямые

2) итерационные

1. Прямые позволяют получить решение за конечное число шагов (достоинство метода), не накапливают ошибки вычисления

недостатки: 1) применимы лишь к матрицам ограниченной размерности (200)

2) требуют хранения всей матрицы системы, на каждом шаге

3) плохо работают с разряженными (неплотными (много нулей)) матрицами

к ним относятся: метод Гаусса, Крамера, Жордан, метод главных компонентов.

2. итерационны

недостатки: 1) нельзя заранее определить количество шагов (итераций)

2) методы накапливают погрешность

достоинства: 1) применимы к системам любой размерности

2) работают со слабо заполненными матрицами

относятся: 1) метод простых итераций (Якоби)

2) Зейделя

3) Релаксации

4.26	Вычисление определителя по методу Гаусса