![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нех - деяка числ послід, тоді
наз додатнім числовим рядом, якщо всі його члени невід’ємні.
- перша частинна сума.
…
-
-та частинна сума.
Числов ряд наз зб, якщо скінчена
послідовності його частинних сум. Цю гран наз сумою ряду
. Всі інші наз розбіжн.
В-ті збіжних рядів:
Т. Якщо числові ряди ,
є зб відповідно до чисел
і
, то
, ряд
- зб, при чому до числа
.
О. Ряд вигляду наз
-тим залишком ряду
і позн
.
Т. ряд і його
-тий залишок збіг до розб одночасно.
Т. (критерій зб додатного числового ряду) Для того, щоб додатній числовий ряд зб н і д, щоб послідовність його частинних сум
була обмежена зверху.
Д. Необхідність. Нех ряд - збіжний числовий ряд, тоді
= S=sup
, (по всіх n) – за теоремою Веєрсштрасса про існування границі обмеженої монотонної послідовності. Звідки маємо, що всі члени
≤S, для будь-яких n, а це означає, що послідовність
- є обмеженою.
Достатність. Нехай послідовність () – обмежена, але ця послідовність встановлена вище, є крім того неспадною послідовністю, а тому за теоремою Вейрсштрасса про існування границі обмеженої монотонної послідовності
= S, а це означає, що ряд
- збіжний.
Ознаки порівняння:
Якщо для невід’ємних рядів (1),
(2) при
справедливе співвідн
, то з зб ряду (2)
зб ряду (1), а з розб ряду (1)
розб ряду (2).
Якщо для невід’ємн рядів (1),
(2)
, то
1) з зб (2)
зб (1)
2) , з розб (2)
розб (1).
Н. Якщо для невід рядів (1),
(2)
,
- дод конкретне число, то ряди (1) і (2) зб або розб одночасно.
Т. (озн Даламбера) Якщо для дод числового ряду
, то
1) ,
- розб.
2) ,
- зб.
3) , сумнівний випадок.
Д. 1) нех (1). За ММІ покажемо
. Справді:
1)
2) нех
3) розгл (показ)
Нех ,
- зб за І озн порівн.
- зб, отже
- зб.
2) нех ,
. Тоді
- розб.
3) нех
- розб,
Нех
- зб.
Т. (інтегр озн збіжності) Якщо для дод числового ряду можна вказати ф-ю
таку, що:
1) означ на і монотонно
на ньому;
2) неперервна на ;
3) , то зб чи розб даного ряду співпадає з зб чи розб невласного інтегр
.
Озн Коші. Якщо для ряду (1)
то ряд зб, якщо
, що
то ряд розб.
Т. (інт озн Коші) Якщо для (1) така непер, невід, незрост ф-я
на
, що
, то для того, щоб (1) зб н і д щоб зб невласний інт
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 501 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!