Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Веєрштрса

Озн. Послідовність членами якої є функції задані на множині називається функціональною послідовністю заданою на .

Озн. Функціональною послідовністю заданою на називається відповідність за яким кожному натуральному числу ставиться у відповідність функція задана на

Множину Eназивають областю визначення, або областю задання функціональної послідовності.

Нехай -функціональна послідовність задана на . Зафіксуємо т. .Тоді
числова послідовність, а про числову послідовність можна говорити чи збіжна вона, чи розбіжна.

Озн. Нехай -функціональна послідовність задана на , . Якщо числова послідовність збігається (розбігається), то кажуть, що функціональна послідовність збігається (розбігається) в т. .

Озн. Нехай -функціональна послідовність задана на . Кажуть, що збігається (розбігається) на множині , якщо вона збігається (розбігається) в усіх точках цієї множини.

Озн. Нехай -функціональна послідовність задана на . Множина називається областю збіжності функціональної послідовністі , якщо функціональна послідовність збігається в усіх точках множини F і розбігається на множині

Озн. Нехай - функціональна послідовність задана на . -її область збіжності. Функція задана на F така що називається границею функціональної послідовністі

Озн. Нехай - функціональна послідовність задана на , F-її область збіжності, -її границя. Кажуть, що функціональна послідовність -збігається рівномірно до своєї границі на множині . Якщо

Теор (ознака рівномірної збіжності функціональної послідовністі). Нехай - функціональна послідовність задана на , -функція задана на , така що -нескінчено мала послідовність. Тоді функціональна послідовність на .

Дов. Візьмемо . За умовою теореми нескінчено мала послідовність. Отже . Тому звідси та з умови теореми маємо: це і означає, що

Теор (критерій Коші рівномірної збіжності функціональної послідовністі). Нехай - функціональна послідовність задана на . Для того щоб вона збігалась на рівномірно необхідно і досить, щоб

Озн. Нехай -ф.п. задана на Символ виду або називається функціональним рядом заданим на .

Множину називають областю визначення функціонального ряду.

Озн. Нехай -функціональний ряд заданий на Функцію задану на будемо називати 1-ю частковою сумою функц. ряду .

Функцію задану на будемо називати n-ю частковою сумою функціонального ряду .

Озн. Кажуть, що функціональний ряд заданий на збігається (розбігається) в т. , якщо в цій точці збігається (розбігається) послідовність його часткових сум, тобто якщо (), або ж якщо збігається (розбігається) числовий ряд .

Озн. Кажуть, що функціональний ряд заданий на збігається (розбігається) в т. якщо в цій точці збігається (розбігається) послідовність його частиних сум.

Озн. Кажуть, що функціональний ряд заданий на збігається (розбігається) на якщо він збігається (розбігається) в кожній точці цієї множини.

Озн. Якщо функціональний ряд заданий на збігається на множині і розбігається на множині , то множина наз. областю збіжності функціонального ряду .

Озн. Нехай - функціональний ряд заданий на , -його область збіжності, -його сума. Кажуть, що функціональний ряд рівномірно збігається до своєї суми на , якщо послідовність часткових сум збігається до рівномірно на тобто .

Заув. Якщо функціональний ряд збгається на своїй області збіжності, то його називають рівномірно збіжним рядом.

Озн. Нехай функціональний ряд заданий на тоді функціональний ряд виду: називається n-м залишком

Озн. функціональний ряд заданий на рівномірно збігається на , якщо

Теор (критерій Коші рівномірної збіжності функціонального ряду). Для того, щоб функціональний ряд заданий на збігався рівномірно на необхідно і досить, щоб

Озн. Кажуть, що додатний числовий ряд є мажорант ним для функціонального ряду на якщо .

Теор. (ознака Веєрштраса рівномірної збіжності функціонального ряду) Якщо для на збіжний додатний мажорантний ряд , то на цей функціональний ряд збігається абсолютно і рівномірно.

Дов. За умовою теореми числовий ряд є збіжним числовим рядом, а тому згідно з критерієм Коші рівномірної збіжності числового ряду будемо мати, що з отриманог робим висновок, що функціональний ряд на збігається рівномірно. Також із виписаних вище співвідношень робим висновок і про абсолютну збіжність функціонального ряду.

Теор. (озн абс зб Веєрштрс) Якщо для функц ряду , заданого на мнж , можна вказати такий зб додатній числовий ряд , що , то даний ряд на мнж збіг рівномірно.