Показникова ф-я та її вл.. Розклад показн. ф-ї в степен. ряд. Показн. ф-я компл. обл.. Ф-ли. Ейлера

Ф-я виду наз. показниковою ф-єю.

Власт. 1) обл. визн. ф-ї - м-на ; Дов. Справді якщо , вираз визначений для будь-яякого х, 2) обл. знач. ;

3) при ф-я - зростаюча на , при ф-я спад на ;

4) , , , , ;

5) Ф-я неперервна на .

6) ф-я деференційовна в кожній точці: .

, , типовим представленням показникової ф-ї є ф-я .Для розвинення ф-ї в в степеневий ряд запишемо ф-лу Тейлора: Тоді (част.суми)—наз. залишков членом ф-ла Тейлора.

Теор. Ф-я на м-ні М розв. в ряд Тейлора т. і т.т. коли залишковий член на цій множ. , тобто коли ряд Тейлора наз. рядом Маклорена . Тоді і ф-я Лагранжа. Тоді . З’ясуємо, при яких числ. ряд (1). За означенням Даламбера . Отже, ряд (1) зб., тоді заг. член . Звідки . Т. чином ф-я розв. в ряд Тейлора на всій числовій осі, тобто

Озн. Ф-я знач якої обчисл. за ф-лою наз показниковою ф-єю. Ця ф-я багатозначна . Розглянемо степеневий ряд в комплексній площині, позн. Його суму через Коли то одерж. ф-ю дійсн. змін. Оскільки ост. Ряди збігаються на всій компл. площині то ф-я означена на всій компл. площині.

Ф-ли Ейлера. .