Означ. і вл. Рац степеня. Означення та степення з ірац показником. степенева ф-я та її вл. Степенева ф-я в комплексній обл

Озн. Нехай і , тоді розуміють

Озн. Степенем числа з рац. показникам , де наз. число . Степінь числа 0 визначений тільки для додатних показників. .

Зауваж. Для - додатного і , число - додатне.

Зауваж. Будь-яке рац. число можна записати по різному у вигляді дробу, оце , для , значення а також не залежить від форми запису рац. числа r.

Справді

Вл: -додатніх

1) Дов.

2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) Нехай і , тоді , якщо і , якщо .

7) Для із неперервності , якщо і , якщо . 8) .

Лема 1. Для , при

Дов. (вл.8), тоді (за теор.) (озн. Гейне) -задов. вибраній умові , ; . В силу обмеження - сторонній корінь;

Лема2. Якщо показникову ф-ю розглядати як м-ну рац. чисел, то для всякого іррац.

Озн. Якщо -ірац. число, то під степенем числа з показником розуміють число , , зростаюча і не перерв. тому для неї існує обернена яка є зрост. і неперервною на . - обернена. Ф-я - теж є визначеною і зрост. на , як композиція зрост. ф-й ., . Крім того, ф-я є не перерв. на то і , як композиція неперервний ф-й є непер. на . Все це справедливо і при , але при цьому треба розглядати м-ну .

Озн. Ф-я задана ф-єю , на степеневою з показником степеня .

Якщо , то степенева ф-я визначена і для бо . При цілих степенева ф-я визначена і для . Для парних , ця ф-я парна, для непарних -непарна. Тому степеневу ф-ю достатньо дослідити на .

В

Л:

1) , 2) . 3)

Теор. Степенева ф-я з додатнім показником є зростаючою і неперер. на . Якщо показник від’ємний то цей факт справедливий на і ф-я спадатиме.

В комплексній обл.

1) - однозначна

2)

3) , де .

У цьому випадку ф-я є зліченою.