Поняття границі числової послідовності, її властивості

Озн. Функція, область визначення якої є множина натуральних чисел називається послідовністю, тобто це відповідність при якій кожному натуральному числу ставиться єдиний елемент. Позначається

Озн. (границі послідовності на мові околів) Точку а називають границею послідовності , при , якщо такий що для члени послідовності будуть попадати в .

Озн. (границі послідовності на мові ) Точку а називають границею послід. , при , якщо . Познач: . Послідовності які мають наз. збіжними. Збіжна послідовність є обмеженою.

Т1. Нехай збіжна послідовність, , то для .

При буде .

Т2. Нехай збіжна послідовність, , для , тоді .

Т3. Нехай і збіжні чис. посл., , для , тоді .

Т4. Нехай і збіжні чис. пос., , то для

Оз. Числова множ. називається обмеженою зверху(знизу), якщо існує таке дійсне число , що для кожного виконується нерівність ()

Оз. Найменша верхня межа обмеженої зверху числ. множини називається точною верхньою межею (гранню) цієї множини і позначається .

Оз. Найбільша нижня межа обмеженої знизу множини називається точною нижньою межею (гранню) цієї множини і позначається .

Т5. Для того, щоб дійсне число було точною верхньою межею обмеж зверху числ множ , необ і досить, щоб виконув наступні умови:

1) , 2)

Оз. Неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними.

Послідовність називається неспадною (незростаючою), якщо виконується нерівність для усіх .

Т6. (про граничцю монотоної послідовністі). обмежена монотонна послідовність має границю, тобто збіжна.

Дов. (для неспадної посл ). Отже, нехай для усіх виконуються наступні умови: 1) ; 2) існує таке число , що .

Розгл числ множ , яка склад з усіх елементів послідовності . За умовою ця множина непорожня і обмежена зверху, а тому має точну верхню межу. Позначимо . Покажемо, що . Оскільки - точна верхня межа елементів послідовності , то, згідно з властивістю точної верхньої межі, для будь-якого існує номер такий, що . Так як послідовність неспадна, то при виконується нерівність . З іншого боку, згідно з означенням точної верхньої межі, для всіх . Таким чином, при маємо нерівність , тобто при . Отже, .