Т.5 (критерій неперервності монотонної ф-ії)

Для того, щоб монотонна на проміжку ф=ія була неперервною на цьому проміжку необхідно і досить, щоб множина її значень була також проміжком.

П.3 Рівномірна неперервність.

О.4 Ф-ія рівномірно неперервна на множині , якщо .

Якщо зафіксувати точку , яка є граничною для , то будемо мати

. А це означає, що .

Тобто якщо ф-ія рівномірно неперервна на мн. М, то вона неперервна в кожній точці М, тобто на М.

Т.6 (Кантора про рівномірну неперервність неперервної на сегменті ф-ії)

Будь-яка неперервна на сегменті ф-ія є на цьому сегменті рівномірно неперервною.

Доведення

Нехай неперервна на . Доведемо, що вона на є рівномірно неперервною. Припустимо супротивне.

Тоді . Нехай , тожі існують послідовності такі, що . Послідовність — обмежена, тому з неї можна вибрати збіжну підпослідовнсть , .

Маємо .

Перейшовши до границі при будемр мати, що .

Отже

Але з іншого боку

І, отже,

Суперечність, яка і доводить, що є рівномірно неперервна на .

Теорему доведено.

П.4 Існування та неперервність оберненої ф-ії.

Т.6 Нехай ф-ія означена на проміжку , зростає (спадає) та неперервна на цьому відрізку, і отже множина її значень є проміжком .

Тоді обернена ф-ія існує, зростає (спадає) і неперервна на проміжку та множина її значень є проміжок .