Теорема 4.(друга теорема Вейєрштрасса)

Неперервна на сегменті функція досягає найбільшого та найменшого значення.

Доведення.

Доведемо що існує точка в якій функції досягає свого найменшого значення.

Функція неперервнана сегменті тому за першою теоремою Вейнштрасса вона обмежена.

Отже множина значень є обмежена множиною. Тому існує точка нижня межа цієї множини. Позначимо .

Покажемо,що існує точка , що . За властивістю точної нижньої межі маємо що .

Візьмемо , тоді така така, що . За теоремою Бельцано-Вейнштрасса з обмеженої послідовності можна вибрати збіжну підпослідовність , , .

Маємо, крім того, .

Перейшовши в основні нерівності до границі при і врахувавши неперервність функції отримаємо .Теорему доведено.