Теорема Больцано-Вейєрштраса. Критерій Коші збіжної числової послідовності

Т1. (Больцано-Вейєрштраса) Із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність. Дов. Нехай посл обмеж, тобто існує відрізок , що для всіх викон нерів . Поділимо пополам. Тоді принаймні в одній половині буде міст нескін м-на еле-ів посл . Позн цю половину . Поділимо тепер відрізок на два рівних відрізки і знову виберемо той із них, у якому міститься нескін множ елементів посл . Позначимо його . Продовжуючи цей процес, дістанемо послідовність укладених відрізків , у яких довжина -го відрізка прямує до нуля при . Отже, за теоремою про вкладені відрізки .

Побуд підпосл посл виконаємо так: у значенні виберемо дов елемент із , який належ , у значенні - дов елемент із , котрий належить відрізку і т. д. Оскільки для вибраних таким чином елементів виконується нерівність , то за теор. про границю проміжної послідовності: , отже збіжна.

Озн. Послід. наз. фундаментальною, якщо

Т2. (Кр.Коші). Для того, щоб послідовність була збіжною необхідно і досить, щоб вона була фундаментальною.

Дов. Необхідність. Нехай послідовність збіжна, . Тоді . Візьмемо , Тоді

Достатність. фундаментальна. Зафіксуємо деякий номер , , Звідси випл що обмеж посл. За попер теор з неї можна вибрати збіжну підпосл. Нехай , це означає що . Доведемо, що . Розглянемо: . Якщо вибрати номер ,

, то . Візьмемо довільне і поклад у попер міркув , тоді .

Маємо,що .Це означає, що