Доведення. Від супротивного. Припустимо, що ф-ія -необмежена зверху

Від супротивного. Припустимо, що ф-ія -необмежена зверху. Тоді для будь-чкого існує , що .(1)

Оскільки обмежена послідовність, то за теоремою Бльцано Вейєрштрасса з неї можна вибрати збіжну підпослідовність .

Нехай , .

Тому .

Отже Тому функція неперервна в точці Тоді за означенням неперервної по Гейне функції

Тому послідовність є обмеженою в тому числі зверху.

Але згідно

Тобто необмежена зверху. Суперечність яка доводить, що функція неперервна на сегменті є обмеженою зверху. Аналогічно доводиться обмеженість цієї функції знизу.

Теорему доведено.

Означення 3. Функція на множині М досягає свого (найменшого)значення, якщо існує , що для будь якого .