Ряд (1.12) збігається, якщо виконуються дві умови

(1.14)

Причому , тобто залишок ряду (1.12) за абсолютною величиною менший за першого свого члена.

Звертаємо увагу на те, що в критерії Лейбніца фактично треба виконати три умови:

1. Знакопереміжність ряду;

2. Монотонність абсолютних величин ряду;

3. Збіжність до нуля спільного члена ряду .

Якщо ряд (1.13) розбіжний, а за критерієм Лейбніца ряд (1.12) збігається, то говорять, що ряд (1.12) збігається умовно.

Приклад 7

Дослідити збіжність ряду .

Це знакопереміжний ряд.

Розглянемо ряд із абсолютних величин членів даного ряду

.

Оскільки гармонічний ряд розбіжний (приклад 1), то знакопереміжний ряд абсолютно не збігається.

Розглянемо, чи виконується критерій Лейбніца, тобто, чи виконуються дві його умови (1.14):

а) ;

б) .

Таким чином, згідно з критерієм Лейбніца ряд збігається, тобто він збігається умовно.

§2 ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

Функціональним рядом називається ряд

, (2.1)

якщо .

Говорять, що ряд (2.1) збіжний у точці , якщо збігається числовий ряд .

Ряд (2.1) абсолютно збіжний у точці , якщо збігається числовий ряд

.

Множина значень , для яких функції визначені і ряд (2.1) збігається, називається областю збіжності функціонального ряду.

Ряд (2.1) буде абсолютно збіжним на множині Е, якщо збіжним на цій множині є ряд .

Частковою сумою ряду (2.1) називають

.

Якщо існує скінченна границя

, (2.2)

тоді – сума ряду.

Функціональний ряд (2.1) називається рівномірно збіжним на множині , якщо послідовність частинних сум , , збігається рівномірно на .

На практиці зручніше користуватись рівносильним означенням