Умови (4.4) – початковими умовами

Щоб звести систему (4.8) до одного диференціального рівняння -го порядку відносно однієї невідомої функції, наприклад , необхідно диференціювати послідовно раз перше рівняння системи (4.8) заміняючи похідні , що створюються в процесі диференцюювання, їх виразами через з вихідної системи (4.8).

В результаті прийдемо до системи виду

(4.9)

З перших рівнянь системи (4.9) знаходимо вирази через , та підставляємо в останнє рівняння цієї системи.

Одержуємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння -го порядку зі сталими коефіцієнтами відносно невідомої функції

, (4.10)

тут – відомі дійсні числа;

– відома неперервна функція для .

Методи інтегрування (4.10) розглянуті в §2. Заходимо загальний розв’язок диференціального рівняння (4.10)

. (4.11)

Потім послідовно знаходимо (використовуючи задані співвідношення) функції . Тим самим отримуємо загальний розв’язок системи.

Приклад 1

Знайти загальний розв’язок системи

Розв’язання

Це лінійна однорідна система диференціальних рівнянь
I-го порядку з постійними коефіцієнтами типу (4.8) за умови .

Систему двох диференціальних рівнянь будемо зводити до одного диференціального рівняння другого порядку відносно .

Диференціюємо перше рівняння системи за змінною

. (*)

З другого диференціального рівняння підставляємо в (*)

. (**)

З першого рівняння системи знаходимо

, (***)

та підставляємо в (**). Одержуємо

,

тобто

. (****)

Отримали лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Інтегруємо його методом Ейлера підставляємо в (****) та скорочуємо на . Приходимо до характеристичного рівняння

.

Його корені .

Функції та утворюють фундаментальну систему розв’язків диференціального рівняння (****). Згідно «основної теореми», загальний розв’язок цього диференціального рівняння є лінійною комбінацією фундаментальної системи розв’язків:

– довільні сталі;

.

Щоб згідно (***) знайти знаходимо спочатку

.

Тоді

Загальний розв’язок вихідної системи

Приклад 2

Розв’язати задачу Коші

якщо .

Розв’язання

Розв’язати задачу Коші – означає знайти такий частинний розв’язок системи, який задовольняє початкові умови.

Спочатку інтегруємо лінійну неоднорідну систему двох диференціальних рівнянь першого порядку, звівши її до одного диференціального рівняння другого порядку відносно функції .

Для цього диференціюємо перше рівняння системи за змінною :

. (*)

Підставляємо вираз з другого рівняння системи в (*)

. (**)

З першого рівняння системи знаходимо

(***)

і підставляємо в (**)

,

. (****)

Одержали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами і спеціальним виглядом правої частини. Згідно теореми про структуру загального розв’язку

тут – загальний розв’язок відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння

– частинний розв’язок диференціального рівняння (****).

Виписуємо відповідне лінійне однорідне диференціальне рівняння

. ()

Згідно методу Ейлера ; . Підставляємо в () та скорочуємо на , приходимо до характеристичного рівняння

його корені та .

Функції та утворюють фундаментальну систему розв’язків диференціального рівняння ().

Згідно «основної теореми» їх лінійна комбінація дає загальний розв’язок диференціального рівняння ()

, – довільні сталі.

Права частина (****) типу (2.53). Отже, частинний розв’язок згідно (2.55) вибираємо у вигляді

тобто

.

Знаходимо та підставляємо в (****)

.

Звідси

Отже,

.

Загальний розв’язок диференціального рівняння (****)

.

Згідно (***)

;

.

Загальний розв’язок системи

Щоб розв’язати задачу Коші залишається задовольнити початкові умови

.

.

Отже, розв’язок вихідної задачі Коші має вигляд

Приклад 3

Знайти загальний розв’язок системи

Розв’язання

Це лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами типу (4.8).

Інтегрувати будемо методом зведення до одного диференціального рівняння другого порядку.

Диференціюємо перше рівняння системи

. (*)

З другого рівняння системи вираз для підставляємо в (*)

. (**)

З першого рівняння системи записуємо

(***)

та підставляємо в (**)

;

. (***)

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами права частина якого є сумою двох функцій та , кожна з яких є функцією спеціального виду.

За теоремою про структуру загального розв’язку цього диференціального рівняння

(****)

тут – загальний розв’язок відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння;

– будь - який частинний розв’язок диференціального рівняння (***).

Виписуємо відповідне лінійне однорідне диференціальне рівняння

. ()

Згідно методу Ейлера . Підставляємо в () та скорочуємо на . Приходимо до характеристичного рівняння

.

Функції та утворюють фундаментальну систему розв’язків диференціального рівняння ().

Згідно «основної теореми» їх лінійна комбінація є загальним розв’язком цього диференціального рівняння

,

тут –довільні сталі.

Частинний розв’язок рівняння (***) визначається виходячи
з правої частини цього рівняння. Оскільки має місце (2.57), то згідно (2.59) та (2.55) записуємо частинний розв’язок у вигляді суми

тобто

,

знаходимо

.

Підставляємо та в рівняння (***)

.

Для знаходження постійних прирівнюємо коефіцієнти

частинний розв’язок

.

Підставляємо в (****) вирази для та

.

Функцію знаходимо з (***)

.

Спрощуємо вираз для та одержуємо загальний розв’язок вихідної системи

РОЗДІЛ 2
РЯДИ

§1 ЧИСЛОВІ РЯДИ

Сума нескінченної числової послідовності називається рядом і записується

, (1.1)

називається спільним членом ряда.

Величина

(1.2)

називається -ю частковою сумою ряду.

Якщо існує скінченна границя

, (1.3)

то ряд (1.1) називається збіжним, а число – його сумою і позначається

. (1.4)

Якщо ж границя не існує або дорівнює безкінечності, то говорять, що ряд (1.1) розбіжний.

Величина

(1.5)

називається -м залишком ряду.