Розв’язок

Розв’язати задачу Коші – значить знайти такий частинний розв’язок диференціального рівняння, який вдовольняє зазначені початкові умови. Спочатку знаходимо загальний розв’язок диференціального рівняння.

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння четвертого порядку зі сталими коефіцієнтами зі спеціальним виглядом правої частини.

Згідно теореми про структуру загального розв’язку такого рівняння (стор. 61, формула (2.52)

, (**)

тут – загальний розв’язок вихідного лінійного неоднорідного диференціального рівняння;

– загальний розв’язок відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння;

– якийсь частинний розв’язок вихідного диференціального рівняння.

Щоб знайти виписуємо відповідне лінійне однорідне рівняння

. (***)

Його розв’язок розшукуємо за методом Ейлера , , , , . Підставляємо в (***) та скорочуємо на .

Це приводить до характеристичного рівняння

; ;

корені цього рівняння

.

Фундаментальна система розв’язків

.

Згідно «основної теореми», лінійна комбінація фундаментальної системи розв’язків і буде загальним розв’язком рівняння (***)

, тут .

Перш ніж записати проаналізуємо праву частину вихідного диференціального рівняння (*)

.

Ми її можемо записати у вигляді (2.53)

,

тут .

Отже, частинний розв’язок вихідного диференціального рівняння подаємо у вигляді (2.55)

,

тут , оскільки корінь характеристичного рівняння кратності 2. Тобто

.

Для знаходження сталих застосовуємо метод невизначених коефіцієнтів: оскільки розв’язок (*), то підстановка його в (*) перетворює останнє на тотожність. Для цього знаходимо похідні:

,

,

,

та підставляємо у вихідне диференціальне рівняння

.

У лівій і правій частинах рівності стоять многочлени відносно . Вони рівні, якщо рівні їх коефіцієнти при однакових степенях . Приходимо до системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих :

З першого рівняння . Підставляємо в друге ; Підставляємо в третє .

Отже, маємо

.

Загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння має вигляд:

.

Щоб розв’язати задачу Коші залишається вдовольнити початкові умови.

Знаходимо спочатку

;

;

.

Отже,

;

;

;

.

Тобто:

Прийшли до системи чотирьох лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих , , яку будемо розв’язувати за методом Жордана-Гаусса:

:9

~ ~

:4

~ ~ ~

~ ~ .

Таким чином

.

Частинний розв’язок диференціального рівняння, який вдовольняє зазначені початкові умови (розв’язок вихідної задачі Коші) має вигляд

.

Приклад 9

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

. (*)

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами зі спеціальним виглядом правої частини.

Згідно теореми про структуру загального розв’язку вихідного диференціального рівняння (стор. 61, формула (2.52):

, (**)

тут – загальний розв’язок відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння;

– будь - який частинний розв’язок вихідного диференціального рівняння.

Для того щоб знайти , записуємо відповідне лінійне однорідне рівняння

. (***)

Згідно методу Ейлера , , . Підставляємо в (***) та скорочуємо на . Приходимо до характеристичного рівняння

.

Його корені . Отже, корені дійсні, однакові, тобто спостерігаємо випадок III. Функції та утворюють фундаментальну систему розв’язків диференціального рівняння (***). Згідно «основної теореми» їх лінійна комбінація дає загальний розв’язок відповідного лінійного однорідного рівняння

.

Права частина рівняння типу (2.53), тут .

Згідно (2.55), маємо

,

де , оскільки не є коренем характеристичного рівняння. Отже,

Підставляємо тепер у рівняння (*)

.

Оскільки при , то

,

тобто

.

Прирівнюємо коефіцієнти при відповідних степенях :

звідси

,

,

,

.

Отже, частинний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд

.

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (*) одержимо, підставивши в (**) одержані вирази для та :

.

Приклад 10

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

. (*)

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами зі спеціальним виглядом правої частини.

Згідно теореми про структуру загального розв’язку вихідного диференціального рівняння (стор. 61):

, (**)

тут – загальний розв’язок відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння;

– будь - який частинний розв’язок вихідного диференціального рівняння.

Для визначення записуємо відповідне лінійне однорідне рівняння

. (***)

За методом Ейлера , , . Підставляємо в (***) та скорочуємо на . Приходимо до характеристичного рівняння

.

Знаходимо його корені

.

Корені комплексні, тобто маємо випадок II. Функції та утворюють фундаментальну систему розв’язків диференціального рівняння (***). Згідно «основної теореми» їх лінійна комбінація дає загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння (***)

.

Розглянемо детальніше праву частину вихідного диференціального рівняння . Вона спеціального виду (випадок (2.54)), тут , тобто і , взагалі відсутнє, отже, , а коефіцієнт . З огляду на проведений аналіз, частинний розв’язок відшукуватимемо у вигляді (2.56) (нагадаємо, що многочленом нульового степеня з невідомими коефіцієнтами є сталі чи )

,

де , оскільки не є коренем характеристичного рівняння. Отже,

.

Знаходимо похідні

Вирази для та підставляємо в рівняння (*), маємо

звідси

.

.

Прирівнюємо коефіцієнти

Розв’язуємо отриману систему двох рівнянь відносно двох невідомих

З другого рівняння одержуємо

і підставляємо в перше

.

Тоді

.

Отже, частинний розв’язок неоднорідного рівняння є

.

Тепер можемо записати загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння (*), підставивши одержані вирази для та в (**)

Слід зауважити, що якщо вихідне диференціальне рівняння (2.23) ((2.16)) має вигляд

, (2.57)

тут і спеціального виду або (2.53), або (2.54),

та – частинні розв’язки відповідно

і , (2.58)

то (2.59)

буде розв’язком диференціального рівняння (2.57).

Якщо в (2.23) функція визначена, неперервна при і її вигляд відмінний від (2.53) чи (2.54), то для знаходження частинного розв’язку цього рівняння застосовують метод Лагранжа (метод варіації довільних сталих).

А саме, частинний розв’язок (2.23), (2.16) шукаємо базуючись на (2.30) у вигляді

, (2.60)

тут невідомі функції, які треба знайти.

– фундаментальна система розв’язків відповідного диференціального рівняння (2.24).

Оскільки розв’язок (2.23), то безпосередня підстановка (2.60) в (2.23) повинна обертати рівність в тотожність.

Знаходимо похідні:

.

Оскільки – будь - який частинний розв’язок рівняння (2.23), то суму перших додатків прирівнюємо нулю.

. (2.61)

З урахуванням (2.61) маємо

знаходимо

.

Суму перших додатків знову прирівнюємо до нуля

. (2.62)

З урахуванням (2.62) маємо

.

Знаходимо при цьому накладаючи аналогічні умови, одержуємо

за умови

. (2.63)

Знаходимо

.

Підставляємо та його похідні з урахуванням додаткових умов ((2.61), (2.62)…(2.63)) у вихідне диференціальне рівняння (2.23) одержимо:

. (2.64)

Оскільки – фундаментальна система розв’язків, тобто

, (2.65)

то (2.64) має вигляд

. (2.66)

Для знаходження одержали систему

(2.67)

лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв’язок якої знаходимо за формулами Крамера:

. (2.68)

Визначник системи (2.67) – визначник Вронського (2.29). Оскільки фундаментальна система розв’язків, то при .

Визначник

,

тут – алгебраїчне доповнення елемента з індексами та . Таким чином

. (2.69)

Зауважимо, що усі функції в (2.69) визначені і неперервні при .

Інтегруючи (2.69) одержимо

, (2.70)

тут – довільні константи інтегрування.

Оскільки за теоремою про структуру загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння – який-небудь частинний розв’язок, то в (2.70) вважаємо . Тоді

. (2.71)

Підставляємо (2.71) в (2.60) одержуємо частинний розв’язок вихідного лінійного неоднорідного рівняння

. (2.72)

Таким чином, для знаходження загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння (2.23) достатньо побудувати фундаментальну систему розв’язків відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння (2.24). Згідно «основної теореми» (2.30) записати та за методом Лагранжа побудувати частинний розв’язок вихідного диференціального рівняння.

Загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння згідно теореми про структуру загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння буде

. (2.73)

Приклад 11

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

. (*)

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами. Загальний розв’язок цього рівняння

, (**)

тут – загальний розв’язок відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння.

– частинний розв’язок вихідного диференціального рівняння.

Спочатку виписуємо відповідне лінійне однорідне диференціальне рівняння

. (***)

Згідно методу Ейлера . Підставляємо в (***) та скорочуємо на . Приходимо до характеристичного рівняння

.

Його корені . Функції та утворюють фундаментальну систему розв’язків.

Згідно «основної теореми», їх лінійна комбінація дає загальний розв’язок диференціального рівняння (***)

,

тут .

Частинний розв’язок диференціального рівняння (*) згідно методу Лагранжа розшукуємо у вигляді

.

Складаємо систему (2.67)

Скорочуємо на

Ця система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно та , розв’язок якої знаходимо за формулами Крамера

.

Як відомо, визначник цієї системи – визначник Вронського.

.

,

.

Тоді

,

.

Інтегруючи знаходимо

,

.

Оскільки нас цікавить будь - який частинний розв’язок вихідного диференціального рівняння, то сталі інтегрування відразу беремо рівними нулю.

Отже,

.

Тобто

.

Загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння

.

§ 3 ДЕЯКІ ЗАДАЧІ ЕКОНОМІКИ, ЯКІ ПРИВОДЯТЬ ДО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Задача 1

Нехай – кількість продукції, яка виробляється галуззю за час ; – ціна продукції. Сума інвестицій (коштів, які направлені на розширення виробництва) пропорційна доходу з коефіцієнтом пропорційності (). Зростання швидкості випуску продукції пропорційне зростанню інвестицій з коефіцієнтом пропорційності . Необхідно знайти кількість продукції, яку виробляє галузь за час , якщо в початковий момент часу .

Розв’язок

За умовою задачі .

Зростання швидкості випуску продукції (далі за умовою)

.

Отже,

.

Для зручності позначимо добуток констант

.

Прийшли до диференціального рівняння

з відокремлюваними змінними (1.15), за умови, що .

З математичної точки зору, необхідно розв’язати задачу Коші. Спочатку інтегруємо диференціальне рівняння.

Відокремлюємо змінні

,

це вже диференціальне рівняння з відокремленими змінними. Інтегруємо його

,

,

тобто , – загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння, тут .

Щоб розв’язати задачу Коші постійну інтегрування находимо із початкової умови :

.

Отже,

,

тобто

– кількість продукції, яку виробляє галузь за цих умов.

Задача 2

Нехай попит і пропозиція на товар визначаються відповідно співвідношеннями

,

де – ціна товару в момент часу ; – тенденція формування ціни. Нехай також в початковий момент часу ціна за одиницю товару складала 1 грошову одиницю. Виходячи із відповідності попиту і пропозиції знайти закон зміни ціни з плином часу.

Розв’язок

Для того. щоб попит відповідав пропозиції необхідно, щоб виконувалась рівність

тобто,

.

Звідси

.

Це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними.

,

за умови одержуємо рівняння

з відокремленими змінними.

Інтегруємо його

,

.

Потенціюючи рівність записуємо загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Постійну інтегрування знаходимо враховуючи початкову умову . Отже,

.

Тоді частинний розв’язок, який вдовольняє зазначену початкову умову буде

.

Отже, для того щоб між попитом і пропозицією зберігалась рівновага необхідно, щоб ціна змінювалась згідно одержаного закону

.

Задача 3

Нехай попит і пропозиція на товар визначаються співвідношеннями

, ,

тут - ціна товару в момент часу ; - тенденція формування ціни; - темп зміни ціни. Нехай також в початковий момент часу ; . Виходячи із вимоги відповідності попиту і пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

Розв’язок

Вимога відповідності попиту і пропозиції це рівність

.

В даному випадку

тобто

, (*)

це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами (2.23) зі спеціальним виглядом правої частини (2.53).

Згідно теореми про структуру його загального розв’язку маємо

, (**)

тут – загальний розв’язок відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння;

– будь - який частинний розв’язок вихідного диференціального рівняння.

Виписуємо спочатку відповідне лінійне однорідне диференціальне рівняння

. (***)

Згідно методу Ейлера , , . Підставляємо в (**) та скорочуємо на . Приходимо до характеристичного рівняння

,

його корені

корені комплексні (випадок II).

Функції

,

,

утворюють фундаментальну систему розв’язків. Згідно «основної теореми» їх лінійна комбінація є загальним розв’язком рівняння (***)

, тут - довільні сталі.

Частинний розв’язок вихідного диференціального рівняння (*) записуємо виходячи із спеціального вигляду правої частини диференціального рівняння

тобто .

Враховуючи (2.55)

.

Тоді

підставляємо у вихідне диференціальне рівняння (*)

.

Отже, .

Загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння згідно (**)

.

Сталі і знаходимо із початкових умов . Спочатку врахуємо

,

.

Тоді

.

Щоб врахувати іншу умову знайдемо окремо похідні

,

.

При маємо .

Оскільки

, то маємо

,

,

звідси

.

Отже, згідно зазначених умов залежність ціни від часу відбувається за законом

.

Задача 4

Нехай торгівельні установи реалізують продукцію, про яку в момент часу із усього числа потенційних покупців знає покупців. Після проведення реклами швидкість зміни числа покупців, які знають про продукцію, пропорційна кількості покупців, що знають про товар та кількості покупців, що про нього ще не знають.

Відомо, що в початковий момент часу про товар дізналось осіб (відлік іде після проведення реклами); – задане число. Знайти закон зміни залежності від часу числа покупців, які знають про товар .

Розв’язок

Згідно умови задачі

, (*)

тут – швидкість зміни числа покупців, які знають про товар;

– число покупців, які знають про товар;

– число осіб, які ще не знають про товар в даний момент часу ;

– додатній коефіцієнт пропорційності.

Причому – початкова умова.

З математичної точки зору маємо задачу Коші , якщо .

Спочатку інтегруємо рівняння.

(*) – це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Розділяємо змінні за умови та

– це дифеернціальне рівняння з відокремленими змінними.

Інтегруємо його

.

Знайдемо окремо

.

При :

.

При :

.

Тоді маємо

,

,

потенціюємо рівність (враховуючи, що )

; позначимо

, тут – загальний розв’язок дифеернціального рівняння (*).

Щоб розв’язати задачу Коші сталу інтегрування знаходимо із початкової умови при маємо

.

Тоді одержуємо

.

Закон зміни числа покупців, які знають про товар в залежності від часу .

Це рівняння називається рівнянням логістичної кривої.

Зокрема, при одержуємо

.

Схематично ця логістична крива має вигляд

Задача 5

Скласти диференціальне рівняння розширеного відтворення.

Розв’язок

Позначимо – вартість валового національного продукта, – вартість виробничих спроможностей виробництва, – вартість виробничих спроможностей споживання. Відомо, що

,

тобто

.

Позначимо частку перенесеної вартості в національному доході через . Тоді національний дохід (у вартісному виразі) є різницею . Частина національного доходу йде на зростання виробничих фондів (фонд накопичення) з метою розширення виробництва. Ця частина створює швидкість зростання , тут – час. Інша частина йде на споживання, тобто

враховуюче вище згадане:

. (*)

Введемо у розгляд фондоємкість приросту продукції і враховуємо, що . Підставляємо останнє у (*), одержуємо

звідси .

Це диференціальне рівняння носить назву диференціального рівняння розширеного відтворення.

§4 СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Системою диференціальних рівнянь першого порядку називається сукупність співвідношень

, (4.1)

тут - незалежна змінна,

невідомі визначені і неперервні функції для .

Якщо ця система розв’язана відносно похідних, то говорять, що задана нормальна система диференціальних рівнянь.

. (4.2)

Сукупність функцій

(4.3)

визначених і неперервних для називається розв’язком системи (4.2) ((4.1)) на цьому інтервалі, якщо підстановка (4.3) в (4.2) перетворює кожне з рівнянь системи в тотожність для всіх .

Процес знаходження розв’язку (4.3) називається інтегруванням системи.

Теорема Коші (теорема існування і єдиності розв’язку системи (4.2)):