Якщо – фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (2.24), то їх лінійна комбінація

. (2.35)

Його корені називаються характеристичними числами лінійного однорідного диференціального рівняння (2.24).

Можливі варіанти.

I Усі корені характеристичного рівняння (2.35) дійсні і різні . Послідовно підставляємо їх в (2.31) та одержуємо розв’язків

(2.36)

Дуже легко показати, що ці функції утворюють фундаментальну систему розв’язків. А отже, їх лінійна комбінація

буде загальним розв’язком вихідного диференціального рівняння (2.24).

II Усі корені (2.35) різні, але серед них є комплексні. Нехай – комплексний корінь рівняння (2.35). Тоді комплексне спряжене число також корінь (2.35), бо за умовою усі коефіцієнти многочленна дійсні числа.

Кореню відповідає розв’язок

, (2.37)

а згідно теореми такий розв’язок породжує два дійсні розв’язки (стор. 51, формула (2.25)

та , (2.38)

вони лінійно незалежні при .

Аналогічно, кореню відповідають також два розв’язки

та . (2.39)

Очевидно, що (2.39) лінійно залежні з (2.38). Іншими словами, комплексно спряжений корінь не породжує лінійно незалежних розв’язків диференціального рівняння (2.24).

І так, якщо усі корені характеристичного рівняння (2.35) різні, але серед них є комплексні, то кожному дійсному кореню відповідає розв’язок , а кожній парі комплексноспряжених коренів відповідає два лінійно незалежних розв’язки (2.38). Всього одержуємо дійсних розв’язків, які утворюють фундаментальну систему розв’язків.

III Випадок кратних коренів. Нехай для визначеності – корінь кратності характеристичного рівняння (2.35) (дійсний або комплексний). Це значить, що

, а . (2.40)

Щоб знайти розв’язок, який відповідає цьому необхідно зробити наступне.

Продиференціюємо (2.33) разів по , при цьому для лівої частини цієї рівності врахуємо (2.31)

(2.41)

для правої частини врахуємо, що -на похідна добутку це:

, (2.42)

одержимо, вважаючи :

. (2.43)

Зважаючи на (2.41) та (2.43) приходимо після диференціювання (2.33) до рівності:

. (2.44)

При , враховуючи (2.40), одержуємо:

при , (2.45)

а це значить, що функції

(2.46)

являються розв’язками диференціального рівняння (2.24). Вони лінійно незалежні при .

Якщо – дійсний корінь, то (2.46) також дійсні функції, маємо дійсних розв’язків диференціального рівняння (2.24).

Якщо ж – комплексний корінь кратності , то значить також корінь кратності , і згідно (2.46) приходимо до комплексних розв’язків

,

які приводять до дійсних розв’язків згідно теореми
(стор. 51)

. (2.47)

Для усіх інших коренів характеристичного рівняння (2.35) знаходимо відповідні розв’язки.