Цей оператор має властивості

1. Константу можна виносити за знак оператора

. (2.21)

2. Оператор від суми функцій дорівнює сумі операторів

(2.22)

З урахуванням (2.20) рівняння (2.16) за умови (2.17) має вигляд

(2.23)

за умови (2.18)

. (2.24)

Попередньо розглянемо три важливі властивості розв’язків диференціального рівняння (2.24)

1. Якщо розв’язок (2.24), тобто , то функція також є розв’язком цього рівняння (доведення безпосередньо випливає
з (2.21)).

2. Якщо і , є розв’язками диференціального рівняння (2.24) то їх сума

також є розв’язком цього рівняння (доведення базується на (2.22)).

3. І узагальнення, якщо , розв’язки диференціального рівняння (2.24), то функція

за умови також є розв’язками диференціального рівняння (2.24).

Розглянемо тепер комплексну функцію дійсної змінної

. (2.25)

Вона називається комплексним розв’язком лінійного однорідного диференціального рівняння (2.24) за умови , якщо при підстановці (2.25) в (2.24) приходимо до тотожності

. (2.26)

Покажемо, що довільний комплексний розв’язок (2.25) диференціального рівняння (2.24) породжує два дійсні розв’язки цього рівняння, а саме, якщо – розв’язок (2.24), то і також розв’язки цього рівняння.

Доведення: тотожність (2.26)

дає в силу властивості (2.22)

; в силу (2.21) маємо .

А, як відомо, це можливо лише за умови

та при .

Це означає, що і розв’язки (2.24).

І так, ми підійшли до питання, якими повинні бути розв’язки диференціального рівняння (2.24), щоб їх лінійна комбінація

, (2.27)

була загальним розв’язком (2.24).

Нагадаємо, що функції називаються лінійно незалежними, якщо рівність

(2.28)

можлива лише при , для усіх .

Якщо ж (2.28) можлива при , то ці функції називаються лінійно залежними.

Очевидно, що якщо хоча б один із розв’язків , то ці функції лінійно залежні, але ми такі розв’язки не розглядаємо.

Перевіряти умову (2.28) для довільних досить складно, тому користуємось теоремою:

для того щоб розв’язки диференціального рівняння (2.24) були лінійно незалежними необхідно і достатньо, щоб визначник Вронського

(2.29)