Усі разом вони і створюють фундаментальну систему розв’язків вихідного диференціального рівняння (2.24)

Приклад 5

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Це диференціальне рівняння четвертого порядку типу (2.24). Згідно методу Ейлера , , , , .

Підставляємо в рівняння та скорочуємо на .

Приходимо до характеристичного рівняння

.

Його корені . Усі корені дійсні і різні (випадок I). Отже,

фундаментальна система розв’язків, а їх лінійна комбінація згідно «основної теореми» і буде загальним розв’язком вихідного диференціального рівняння

де .

Приклад 6

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Це диференціальне рівняння третього порядку типу (2.24). Згідно методу Ейлера , , , . Підставляємо в диференціальне рівняння та скорочуємо на . Приходимо до характеристичного рівняння:

,

.

Корені цього рівняння, .

Таким чином, маємо випадок III з кратним коренем кратності , і тоді згідно (2.46) одержуємо фундаментальну систему розв’язків

.

А отже, загальний розв’язок згідно «основної теореми» має вигляд

.

Приклад 7

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Це диференціальне рівняння третього порядку типу (2.24). Згідно методу Ейлера , , , . Підставляємо в диференціальне рівняння та скорочуємо на .

Приходимо до характеристичного рівняння

,

знаходимо корені цього рівняння:

,

,

.

Отже, маємо випадок II.

Фундаментальна система розв’язків має вигляд

.

Тоді загальний розв’язок цього рівняння згідно «основної теореми»

Повернемось до вихідного лінійного неоднорідного диференціального рівняння (2.23).

Припустимо, що нам вдалось знайти якийсь його розв’язок , тобто має місце тотожність

(2.48)

Введемо у розгляд нову невідому функцію так, що

. (2.49)

Підставимо (2.49) в рівняння (2.23)

. (2.50)

Враховуючи (2.22) одержуємо

. (2.51)

З урахуванням (2.48) співвідношення (2.51) спрощується

.

А це лінійне однорідне диференціальне рівняння (2.24), яке відповідає вихідному (2.23) (або, що теж саме, (2.16)). Загальний розвязок якого, згідно «основної теореми», має вигляд (2.30).

Таким чином, приходимо до теореми про структуру загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння:

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння є суперпозицією загального розв’язку відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння та деякого частинного розв’язку вихідного диференціального рівняння:

. (2.52)

Якщо права частина диференціального рівняння (2.23) має один із двох видів:

1 . (2.53)

2 , (2.54)

то тільки за цих умов ми можемо знайти загальний розв’язок рівняння (2.23) без інтегрування.

Розглянемо ці два варіанти знаходження . Ще раз підкреслимо, що все нижче записане має місце тільки тоді, коли у правій частині рівняння (2.23) маємо функцію (2.53) або (2.54).

Якщо розглядається випадок (2.53), то шукаємо у вигляді

, (2.55)

де - многочлен такого самого степеня, як і , тільки з невідомими коефіцієнтами; - число збігів з коренями характеристичного рівняння (2.35).

Якщо у правій частині рівняння (2.23) маємо функцію (2.54), то частинний розв’язок відшукуємо у вигляді

, (2.56)

де - многочлени степеня , де з невідомими коефіцієнтами; - число збігів виразу з коренями характеристичного рівняння (2.35).

Для знаходження невідомих коефіцієнтів многочленів використовуємо метод невизначених коефіцієнтів.

Приклад 8

Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння, який вдовольняє початкові умови (розв’язати задачу Коші)

, (*)

.